{"id":761,"date":"2023-07-28T20:30:47","date_gmt":"2023-07-28T20:30:47","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pt\/distribuicao-geometrica\/"},"modified":"2023-07-28T20:30:47","modified_gmt":"2023-07-28T20:30:47","slug":"distribuicao-geometrica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pt\/distribuicao-geometrica\/","title":{"rendered":"Uma introdu\u00e7\u00e3o \u00e0 distribui\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">A <strong>distribui\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica<\/strong> descreve a probabilidade de ocorrer um certo n\u00famero de falhas antes de ocorrer o primeiro sucesso em uma s\u00e9rie de tentativas de Bernoulli.<\/span><\/p>\n<blockquote>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Um <strong>ensaio de Bernoulli<\/strong> \u00e9 uma experi\u00eancia com apenas dois resultados poss\u00edveis \u2013 \u201csucesso\u201d ou \u201cfracasso\u201d \u2013 e a probabilidade de sucesso \u00e9 a mesma cada vez que a experi\u00eancia \u00e9 conduzida.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Um exemplo de ensaio de Bernoulli \u00e9 o sorteio. A moeda s\u00f3 pode cair com duas caras (podemos chamar cara de &#8220;acerto&#8221; e coroa de &#8220;falha&#8221;) e a probabilidade de sucesso em cada lan\u00e7amento \u00e9 de 0,5, assumindo que a moeda \u00e9 justa.<\/span><\/p>\n<\/blockquote>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Se uma <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pt\/variaveis-aleatorias\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">vari\u00e1vel aleat\u00f3ria<\/a> <em>X<\/em> segue uma distribui\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica, ent\u00e3o a probabilidade de experimentar <em>k<\/em> falhas antes de experimentar o primeiro sucesso pode ser encontrada pela seguinte f\u00f3rmula:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=k) = (1-p) <sup>kp<\/sup><\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ouro:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>k:<\/strong> n\u00famero de falhas antes do primeiro sucesso<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>p:<\/strong> probabilidade de sucesso em cada tentativa<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Por exemplo, digamos que queremos saber quantas vezes temos que jogar uma moeda honesta at\u00e9 dar cara. Podemos usar a f\u00f3rmula acima para determinar a probabilidade de ocorrer 0, 1, 2, 3 falhas, etc. antes que a moeda caia em cara:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><em><strong>Nota:<\/strong> a moeda pode sofrer 0 \u201cfalha\u201d se der cara no primeiro lan\u00e7amento.<\/em><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=0)<\/strong> = (1-0,5) <sup>0<\/sup> (0,5) = <strong>0,5<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=1)<\/strong> = (1-0,5) <sup>1<\/sup> (0,5) = <strong>0,25<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=2)<\/strong> = (1-0,5) <sup>2<\/sup> (0,5) = <strong>0,125<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=3)<\/strong> = (1-0,5) <sup>3<\/sup> (0,5) = <strong>0,0625<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Podemos calcular a probabilidade de qualquer n\u00famero de lan\u00e7amentos de moeda at\u00e9 o infinito. Em seguida, criamos um histograma simples para visualizar esta distribui\u00e7\u00e3o de probabilidade:<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-8160 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/geomdist1.png\" alt=\"Histograma de distribui\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica de probabilidade\" width=\"442\" height=\"313\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h3> <strong>C\u00e1lculo de probabilidades geom\u00e9tricas cumulativas<\/strong><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">A <strong>probabilidade cumulativa<\/strong> de experimentarmos <em>k<\/em> ou menos falhas at\u00e9 o primeiro sucesso pode ser encontrada<\/span> <span style=\"color: #000000;\">pela seguinte f\u00f3rmula:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X\u2264k) = 1 \u2013 (1-p) <sup>k+1<\/sup><\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ouro:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>k:<\/strong> n\u00famero de falhas antes do primeiro sucesso<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>p:<\/strong> probabilidade de sucesso em cada tentativa<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Por exemplo, suponha que queiramos saber a probabilidade de serem necess\u00e1rias tr\u00eas ou menos \u201cerras\u201d antes que a moeda finalmente d\u00ea cara. Usar\u00edamos a seguinte f\u00f3rmula para calcular essa probabilidade:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X\u22643)<\/strong> = 1 \u2013 (1-0,5) <sup>3+1<\/sup> = <strong>0,9375<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Podemos calcular cada probabilidade cumulativa usando uma f\u00f3rmula semelhante:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X\u22640)<\/strong> = 1 \u2013 (1-0,5) <sup>0+1<\/sup> = <strong>0,5<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X\u22641)<\/strong> = 1 \u2013 (1-0,5) <sup>1+1<\/sup> = <strong>0,75<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X\u22642)<\/strong> = 1 \u2013 (1-0,5) <sup>2+1<\/sup> = <strong>0,875<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Podemos calcular essas probabilidades cumulativas para qualquer n\u00famero de lan\u00e7amentos de moeda at\u00e9 o infinito. Podemos ent\u00e3o criar um histograma para visualizar esta distribui\u00e7\u00e3o de probabilidade cumulativa:<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-8162 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/geomdist2.png\" alt=\"Distribui\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica de probabilidade cumulativa\" width=\"459\" height=\"283\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/div>\n<h3> <strong>Propriedades da distribui\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica<\/strong><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">A distribui\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica tem as seguintes propriedades:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">A m\u00e9dia da distribui\u00e7\u00e3o \u00e9 <strong>(1-p) \/ p<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">A vari\u00e2ncia da distribui\u00e7\u00e3o \u00e9 <strong>(1-p) \/ p <sup>2<\/sup><\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Por exemplo:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">O n\u00famero m\u00e9dio de vezes que esperamos que uma moeda caia cara antes de cair coroa seria (1-p) \/ p = (1-0,5) \/ 0,5 = <strong>1<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">A vari\u00e2ncia do n\u00famero de lan\u00e7amentos at\u00e9 dar cara seria (1-p)\/ <sup>p2<\/sup> =(1-0,5)\/. <sup>52<\/sup> = <strong>2<\/strong> .<\/span><\/p>\n<h3> <strong>Problemas pr\u00e1ticos de distribui\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica<\/strong><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Use os seguintes problemas pr\u00e1ticos para testar seu conhecimento sobre distribui\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><em><strong>Observa\u00e7\u00e3o:<\/strong> usaremos a <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pt\/calculadora-de-distribuicao-geometrica\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Calculadora de Distribui\u00e7\u00e3o Geom\u00e9trica<\/a> para calcular as respostas a essas perguntas.<\/em><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Problema 1<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Pergunta:<\/strong> Um pesquisador espera do lado de fora de uma biblioteca para perguntar \u00e0s pessoas se elas apoiam uma determinada lei. A probabilidade de uma determinada pessoa apoiar a lei \u00e9 p = 0,2. Qual \u00e9 a probabilidade de que a quarta pessoa com quem o pesquisador fala seja a primeira a apoiar a lei?<\/span><\/p>\n<p data-slot-rendered-dynamic=\"true\"> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Resposta:<\/strong> O n\u00famero de \u201cfracassos\u201d at\u00e9 o primeiro sucesso \u2013 ou seja, o n\u00famero de pessoas que n\u00e3o apoiam a lei at\u00e9 que a primeira pessoa a apoie \u2013 \u00e9 3. Portanto, ao usar a calculadora de distribui\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica com p = 0,2 e x = 3 falhas, descobrimos que P(X=3) = <strong>0,10240<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Problema 2<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Pergunta:<\/strong> Um pesquisador espera do lado de fora de uma biblioteca para perguntar \u00e0s pessoas se elas apoiam uma determinada lei. A probabilidade de uma determinada pessoa apoiar a lei \u00e9 p = 0,2. Qual \u00e9 a probabilidade de o pesquisador ter que conversar com <em>mais<\/em> de quatro pessoas para encontrar algu\u00e9m que apoie a lei?<\/span><\/p>\n<p data-slot-rendered-dynamic=\"true\"> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Resposta:<\/strong> Usando a calculadora de distribui\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica com p =0,2 ex = 4 falhas, descobrimos que P(X&gt;4) = <strong>0,32768<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Problema 3<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Pergunta:<\/strong> Um pesquisador espera do lado de fora de uma biblioteca para perguntar \u00e0s pessoas se elas apoiam uma determinada lei. A probabilidade de uma determinada pessoa apoiar a lei \u00e9 p = 0,2. Qual \u00e9 o n\u00famero esperado de pessoas com quem a pesquisadora precisar\u00e1 conversar at\u00e9 encontrar algu\u00e9m que apoie a lei?<\/span><\/p>\n<p data-slot-rendered-dynamic=\"true\"> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Resposta:<\/strong> Lembre-se de que a m\u00e9dia da distribui\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica \u00e9 <strong>(1-p) \/ p<\/strong> . Nesta situa\u00e7\u00e3o, a m\u00e9dia seria (1-0,2) \/ 0,2 = <strong>4<\/strong> .<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>A distribui\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica descreve a probabilidade de ocorrer um certo n\u00famero de falhas antes de ocorrer o primeiro sucesso em uma s\u00e9rie de tentativas de Bernoulli. 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