{"id":78,"date":"2023-08-05T17:04:07","date_gmt":"2023-08-05T17:04:07","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pt\/matriz-de-decovariancia\/"},"modified":"2023-08-05T17:04:07","modified_gmt":"2023-08-05T17:04:07","slug":"matriz-de-decovariancia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pt\/matriz-de-decovariancia\/","title":{"rendered":"Matriz de covari\u00e2ncia"},"content":{"rendered":"<p>Este artigo explica o que \u00e9 a matriz de covari\u00e2ncia e qual \u00e9 sua f\u00f3rmula. Voc\u00ea descobrir\u00e1 como criar a matriz de covari\u00e2ncia com um exemplo concreto e as propriedades das matrizes de covari\u00e2ncia. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-matriz-de-covarianza\"><\/span> Qual \u00e9 a matriz de covari\u00e2ncia?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> A <strong>matriz de covari\u00e2ncias<\/strong> \u00e9 uma matriz quadrada cujos elementos s\u00e3o as vari\u00e2ncias e covari\u00e2ncias das vari\u00e1veis estudadas. Assim, os elementos da diagonal principal da matriz de covari\u00e2ncias s\u00e3o as vari\u00e2ncias de cada vari\u00e1vel, e os demais elementos s\u00e3o as covari\u00e2ncias entre as vari\u00e1veis.<\/p>\n<p> Nas estat\u00edsticas, a matriz de covari\u00e2ncia \u00e9 utilizada para analisar a rela\u00e7\u00e3o entre duas ou mais vari\u00e1veis aleat\u00f3rias. A matriz de covari\u00e2ncias \u00e9 muito \u00fatil porque permite interpretar rapidamente a correla\u00e7\u00e3o entre muitas vari\u00e1veis, j\u00e1 que \u00e9 poss\u00edvel ver os valores de todas as covari\u00e2ncias das vari\u00e1veis ao mesmo tempo.<\/p>\n<p> O s\u00edmbolo da matriz de covari\u00e2ncia \u00e9 a letra grega mai\u00fascula sigma (\u03a3). <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"como-calcular-la-matriz-de-covarianza\"><\/span> Como calcular a matriz de covari\u00e2ncia<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Para <strong>calcular a matriz de covari\u00e2ncia<\/strong> de diversas vari\u00e1veis estat\u00edsticas, devem ser realizados os seguintes passos:<\/p>\n<ol style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:14px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Calcule as vari\u00e2ncias de todas as vari\u00e1veis.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:14px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Calcule a covari\u00e2ncia de cada par de vari\u00e1veis.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Forme a matriz de covari\u00e2ncia:<\/span><\/li>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:8px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">A vari\u00e2ncia da vari\u00e1vel <em>i<\/em> deve ser colocada na diagonal principal da matriz, mais precisamente na posi\u00e7\u00e3o <em>i,i<\/em> .<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">A covari\u00e2ncia entre as vari\u00e1veis <em>i<\/em> e <em>j<\/em> deve ser colocada na posi\u00e7\u00e3o <em>i,j<\/em> da matriz.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<\/ol>\n<p> A <strong>f\u00f3rmula para a matriz de covari\u00e2ncia<\/strong> \u00e9, portanto, a seguinte: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/matrice-de-covariance.png\" alt=\"matriz de covari\u00e2ncia\" class=\"wp-image-1714\" width=\"602\" height=\"219\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-matriz-de-covarianza\"><\/span> Exemplo de matriz de covari\u00e2ncia<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Depois de ver a defini\u00e7\u00e3o de matriz de covari\u00e2ncia, segue abaixo um passo a passo para voc\u00ea ver como \u00e9 feito esse tipo de matriz.<\/p>\n<p> Calcula a matriz de covari\u00e2ncias das vari\u00e1veis X, Y e Z, cujos valores s\u00e3o:<\/p>\n<ul>\n<li> X: 4, 7, 12, 5, 7<\/li>\n<li> E: 9, 15, 19, 6, 8<\/li>\n<li> Z: 7, 2, 4, 6, 3<\/li>\n<\/ul>\n<p> A primeira coisa que precisamos fazer \u00e9 determinar as vari\u00e2ncias de todas as vari\u00e1veis: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-246675afb851649ad3289cc9fdd86de8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Var(X)=7,6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"111\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04c40f4402759ea0ba6b1507f0865564_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Var(Y)=23,44\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"127\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3b9aa0b6c1af85b98c41d6e91c2d42ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Var(Z)=3,44\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"118\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Veja:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pt\/variacao\/\">calculadora de gap<\/a><\/div>\n<p> Em segundo lugar, encontramos a covari\u00e2ncia entre cada par de vari\u00e1veis: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-997ada9147a8e29f8e808795aebb7c90_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(X,Y)=11,2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"140\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e7c4b2aa6cd24dabf9c4538030f30b1b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(X,Z)=-2,6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"145\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f9c1dab7f4691d9a35e56e3e166d919_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(Y,Z)=-4,36\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"150\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Veja:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pt\/covariancia\/\">calculadora de covari\u00e2ncia<\/a><\/div>\n<p> E uma vez calculadas todas as vari\u00e2ncias e covari\u00e2ncias, s\u00f3 falta fazer a matriz de covari\u00e2ncias. Para fazer isso, colocamos os valores de vari\u00e2ncia na diagonal principal da matriz e os valores de covari\u00e2ncia em suas posi\u00e7\u00f5es correspondentes:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a423b40ad6d25b57327b1f3dccd5df4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\Sigma=\\begin{pmatrix}Var(X)&amp;Cov(X,Y)&amp;Cov(X,Z)\\\\[1.5ex]Cov(Y,X)&amp;Var(Y)&amp;Cov(Y,Z)\\\\[1.5ex]Cov(Z,X)&amp;Cov(Z,Y)&amp;Var(Z)\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"342\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d90c58cc3c8ecef6a85c88196e1dd08d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\Sigma=\\begin{pmatrix}7,6&amp;11,2&amp;-2,6\\\\[1.5ex]11,2&amp;23,44&amp;-4,36\\\\[1.5ex]-2,6&amp;-4,36&amp;3,44\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"231\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Como voc\u00ea pode ver, ao representar as vari\u00e2ncias e covari\u00e2ncias em uma matriz, \u00e9 muito f\u00e1cil interpretar as vari\u00e1veis. A vari\u00e1vel com maior dispers\u00e3o \u00e9 Y (23,44), por outro lado as vari\u00e1veis X e Y possuem rela\u00e7\u00e3o direta, enquanto as vari\u00e1veis X e Z (e portanto Y e Z) possuem rela\u00e7\u00e3o inversa.<\/p>\n<p> Observe que a matriz de covari\u00e2ncia \u00e9 sempre sim\u00e9trica, pois a covari\u00e2ncia entre duas vari\u00e1veis n\u00e3o depende da ordem das vari\u00e1veis. Por exemplo,<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eba027bd1998d2c1dbe59f1b512ab953_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(X,Y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> \u00e9 igual a<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-def16a63c06994394f83cdc040bea555_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(Y,X).\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Al\u00e9m disso, a matriz de covari\u00e2ncia ser\u00e1 sempre uma matriz quadrada e sua dimens\u00e3o ser\u00e1 igual ao n\u00famero de vari\u00e1veis. Neste caso t\u00ednhamos tr\u00eas vari\u00e1veis e por isso \u00e9 uma matriz 3&#215;3, mas se tiv\u00e9ssemos apenas duas vari\u00e1veis a matriz de covari\u00e2ncia teria sido 2&#215;2. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedades-de-la-matriz-de-covarianza\"><\/span> Propriedades da matriz de covari\u00e2ncia<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> A matriz de covari\u00e2ncia possui as seguintes caracter\u00edsticas:<\/p>\n<ul>\n<li> A matriz de covari\u00e2ncia \u00e9 uma matriz quadrada da ordem do n\u00famero de vari\u00e1veis.<\/li>\n<li> A matriz de covari\u00e2ncia \u00e9 sim\u00e9trica, o que significa que a diagonal principal da matriz \u00e9 um eixo de simetria.<\/li>\n<li> A matriz de covari\u00e2ncia \u00e9 sempre positiva semidefinida.<\/li>\n<li> O determinante da matriz de covari\u00e2ncia \u00e9 igual ou maior que zero.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Este artigo explica o que \u00e9 a matriz de covari\u00e2ncia e qual \u00e9 sua f\u00f3rmula. 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