Введение в биномиальное распределение

Биномиальное распределение — одно из самых популярных распределений в статистике. Чтобы понять биномиальное распределение, сначала нужно разобраться с биномиальными экспериментами .

Биномиальные эксперименты

Биномиальный эксперимент – это эксперимент, обладающий следующими свойствами:

• Эксперимент состоит из n повторных попыток.
• Каждое испытание имеет только два возможных результата.
• Вероятность успеха, обозначаемая p , одинакова для каждого испытания.
• Каждый тест независим.

Самый очевидный пример биномиального эксперимента — подбрасывание монеты. Например, предположим, что мы подбрасываем монету 10 раз. Это биномиальный эксперимент, поскольку он обладает следующими четырьмя свойствами:

• Эксперимент состоит из n повторных испытаний – Всего 10 испытаний.
• Каждое испытание имеет только два возможных исхода: орел или решка.
• Вероятность успеха, обозначаемая p , одинакова для каждого испытания. Если мы определим «успех» как приземление головы, то вероятность успеха составит ровно 0,5 для каждого испытания.
• Каждое испытание является независимым — результат одного подбрасывания монеты не влияет на результат любого другого подбрасывания монеты.

Биномиальное распределение

Биномиальное распределение описывает вероятность получения k успехов в n биномиальных экспериментах.

Если случайная величина X имеет биномиальное распределение, то вероятность того, что X = k успеха, можно найти по следующей формуле:

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Золото:

• n: количество испытаний
• k: количество успехов
• p: вероятность успеха в данном испытании
• _n C _k : количество способов добиться k успехов в n испытаниях.

Например, предположим, что мы подбрасываем монету 3 раза. Мы можем использовать приведенную выше формулу, чтобы определить вероятность выпадения 0, 1, 2 и 3 решек при этих трех бросках:

P(X=0) = ₃ C ₀ * 0,5 ⁰ * (1-0,5) ^3-0 = 1 * 1 * (0,5) ³ = 0,125

P(X=1) = ₃ C ₁ * 0,5 ¹ * (1-0,5) ^3-1 = 3 * 0,5 * (0,5) ² = 0,375

P(X=2) = ₃ C ₂ * 0,5 ² * (1-0,5) ^3-2 = 3 * 0,25 * (0,5) ¹ = 0,375

P(X=3) = ₃ C ₃ * 0,5 ³ * (1-0,5) ^3-3 = 1 * 0,125 * (0,5) ⁰ = 0,125

Примечание . Мы использовали этот комбинированный калькулятор для расчета _{nCk для} каждого примера.

Мы можем создать простую гистограмму, чтобы визуализировать это распределение вероятностей:

Расчет кумулятивных биномиальных вероятностей

Вычислить одну биномиальную вероятность (например, вероятность того, что монета выпадет орлом в 1 раз из 3 бросков) просто, используя приведенную выше формулу, но для расчета кумулятивных биномиальных вероятностей нам нужно сложить отдельные вероятности.

Например, предположим, что мы хотим знать вероятность того, что монета выпадет орел 1 раз или меньше из 3 бросков. Для расчета этой вероятности мы будем использовать следующую формулу:

P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = 0,125 + 0,375 = 0,5 .

Это называется кумулятивной вероятностью , поскольку предполагает сложение нескольких вероятностей. Мы можем рассчитать кумулятивную вероятность выпадения k орлов или меньше для каждого исхода, используя аналогичную формулу:

P(X≤0) = P(X=0) = 0,125 .

P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = 0,125 + 0,375 = 0,5 .

P(X≤2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,125 + 0,375 + 0,375 = 0,875 .

P(X≤3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1 .

Мы можем создать гистограмму, чтобы визуализировать это кумулятивное распределение вероятностей:

Калькулятор биномиальной вероятности

Когда мы работаем с небольшими числами (например, 3 броска монеты), разумно вычислять биномиальные вероятности вручную. Однако, когда мы работаем с большими числами (например, 100 розыгрышей), может быть сложно вычислить вероятности вручную. В этих случаях может быть полезно использовать калькулятор биномиальной вероятности, подобный приведенному ниже.

Например, предположим, что мы подбрасываем монету n = 100 раз, вероятность того, что она упадет орлом в данном испытании, равна p = 0,5, и мы хотим знать вероятность того, что она упадет орлом k = 43 раза или меньше:

Вот как интерпретировать результат:

• Вероятность того, что монета выпадет орлом ровно 43 раза, равна 0,03007 .
• Вероятность того, что монета выпадет орлом менее 43 раз, равна 0,06661 .
• Вероятность того, что монета выпадет орлом 43 раза или меньше, равна 0,09667 .
• Вероятность того, что монета выпадет орлом более 43 раз, равна 0,90333 .
• Вероятность того, что монета выпадет орлом 43 и более раз, равна 0,93339 .

Свойства биномиального распределения

Биномиальное распределение обладает следующими свойствами:

Среднее значение распределения: µ = np

Дисперсия распределения равна σ ² = np(1-p)

Стандартное отклонение распределения составляет σ = √ np(1-p)

Например, предположим, что мы подбрасываем монету 3 раза. Пусть p = вероятность того, что монета упадет орлом.

Среднее количество голов, которое мы ожидаем, составляет µ = np = 3*.5 = 1,5 .

Мы ожидаем, что отклонение численности персонала составит σ ² = np(1-p) = 3*.5*(1-.5) = 0,75 .

Практические задачи биномиального распределения

Используйте следующие практические задачи, чтобы проверить свои знания о биномиальном распределении.

Проблема 1

Вопрос: Боб выполняет 60% штрафных бросков. Если он выполнит 12 штрафных бросков, какова вероятность того, что он выполнит ровно 10?

Ответ: Используя приведенный выше калькулятор биномиального распределения с p = 0,6, n = 12 и k = 10, мы находим, что P(X=10) = 0,06385 .

Проблема 2

Вопрос: Джессика подбрасывает монету 5 раз. Какова вероятность того, что монета выпадет орлом 2 или менее раз?

Ответ: Используя приведенный выше калькулятор биномиального распределения с p = 0,5, n = 5 и k = 2, мы находим, что P(X≤2) = 0,5 .

Проблема 3

Вопрос: Вероятность того, что данного студента примут в определенный колледж, равна 0,2. Если подадут заявку 10 студентов, какова вероятность того, что будет принято более 4 студентов?

Ответ: Используя приведенный выше калькулятор биномиального распределения с p = 0,2, n = 10 и k = 4, мы находим, что P(X>4) = 0,03279 .

Проблема 4

Вопрос: Вы подбрасываете монету 12 раз. Каково ожидаемое среднее количество выпавших голов?

Ответ: Напомним, что среднее биномиального распределения рассчитывается как μ = np. Итак, μ = 12*0,5 = 6 голов .

Проблема 5

Вопрос: Марк совершает хоумран в 10% своих попыток. Если он сделает 5 попыток в данной игре, какова будет разница в количестве сделанных им хоум-ранов?

Ответ: Напомним, что дисперсия биномиального распределения рассчитывается как σ ² = np(1-p). Таким образом, ^σ2 = 6*.1*(1-.1) = 0,54 .

Дополнительные ресурсы

Следующие статьи помогут вам научиться использовать биномиальное распределение в различных статистических программах:

• Как рассчитать биномиальные вероятности в Excel
• Как рассчитать биномиальные вероятности на калькуляторе TI-84
• Как вычислить биномиальные вероятности в R
• Как построить биномиальное распределение в R