Вероятность объединения событий

В этой статье мы объясним, как рассчитать вероятность объединения событий. Так вы узнаете, какова формула вероятности объединения событий, а также упражнения, решаемые пошагово.

Что такое объединение событий?

В теории вероятностей объединение событий — это событийная операция, результат которой состоит из всех элементарных событий множеств операции. Другими словами, объединение двух событий А и В — это набор событий, которые находятся в А, в В или в обоих.

Объединение двух событий обозначается символом ⋃. Таким образом, объединение событий A и B записывается как A⋃B.

Например, в случайном эксперименте с броском игральной кости, если одно событие выбрасывает нечетное число A={1, 3, 5}, а другое событие выбрасывает число меньше трех B = {1, 2}, объединение двух события A⋃B={1, 2, 3, 5}.

Формула вероятности объединения событий

Вероятность объединения двух событий равна вероятности первого события плюс вероятность второго события минус вероятность пересечения двух событий.

Другими словами, формула вероятности объединения двух событий такова : P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B).

Золото:

• 

  — вероятность объединения события А и события Б.

• 

  вероятность того, что событие А произойдет.

• 

  — вероятность того, что событие B произойдет.

• 

  — вероятность пересечения события А и события Б.

Однако, если два события несовместимы, пересечение между двумя событиями равно нулю. Поэтому вероятность объединения двух несовместимых событий вычисляется путем сложения вероятности появления каждого события.

Решенные примеры вероятности объединения событий

Чтобы вы могли увидеть, как рассчитывается вероятность объединения двух событий, мы оставляем вам ниже два примера, решаемых шаг за шагом. Сначала мы найдем вероятность объединения двух несовместимых событий, а затем двух совместимых событий, поскольку расчет немного отличается.

Вероятность объединения двух несовместимых событий

• Положим в коробку 10 синих шаров, 6 оранжевых и 4 зеленых шара. Какова вероятность вытащить синий или оранжевый шар?

В упражнении нам предлагается определить вероятность того, что произойдет то или иное событие. Следовательно, для решения задачи необходимо воспользоваться формулой объединения двух событий:

Итак, сначала рассчитаем вероятность наступления каждого события отдельно поформуле правила Лапласа :

Однако в этом случае оба события не могут произойти одновременно, поскольку это два несовместимых события. То есть, если мы нарисуем синий шар, мы больше не сможем нарисовать оранжевый шар, и наоборот.

Следовательно, совместная вероятность обоих событий равна нулю, и, следовательно, формула упрощается:

Итак, расчет вероятности поймать синий или оранжевый шарик следующий:

Короче говоря, вероятность вынуть из коробки синий или оранжевый шар равна 80%.

Вероятность объединения двух совместимых событий

• Если мы подбросим монету дважды, какова вероятность выпадения орла хотя бы при одном броске?

В данном случае события совместимы, так как при первом выпадении мы можем получить «орла», а при втором – «решку». Поэтому формула расчета вероятности объединения событий не упрощается и выглядит следующим образом:

Итак, сначала нам нужно посчитать вероятность выпадения «орла» при подбрасывании монеты, применив правило Лапласа:

Теперь посчитаем вероятность пересечения двух событий по формуле правила умножения :

Наконец, чтобы найти вероятность того, что орел выпадет хотя бы в одном из двух бросков, просто подставьте значения в формулу и выполните расчет:

В заключение, вероятность того, что если вы подбросите монету дважды, хотя бы один раз выпадет орел, равна 75%.

Свойства объединений событий

В теории вероятностей функционирование объединения событий отвечает следующим свойствам:

• Коммутативное свойство: порядок событий в объединении не меняет результат операции.

• Ассоциативное свойство: объединение трех событий можно вычислять в любом порядке, поскольку результат один и тот же.

• Распределительное свойство: объединение событий реализует распределительное свойство при пересечении событий.