Измерения формы

К бенджамин андерсон 4 августа, 2023 Статистика 0 комментариев

В этой статье объясняется, что такое измерения формы. Итак, вы узнаете, для чего используются метрики формы, как интерпретируются метрики формы и как рассчитываются эти типы статистических показателей.

Что такое измерения формы?

В статистике меры формы — это индикаторы, которые позволяют нам описать распределение вероятностей в соответствии с его формой. То есть меры формы используются для определения того, как выглядит распределение, без необходимости построения его графика.

Существует два типа измерений формы: асимметрия и эксцесс. Асимметрия показывает, насколько симметрично распределение, а эксцесс показывает, насколько распределение сконцентрировано вокруг своего среднего значения.

Каковы размеры формы?

Что касается определения показателей формы, в этом разделе показано, что представляют собой эти типы статистических параметров.

В статистике мы различаем две формы меры:

Асимметрия : указывает, является ли распределение симметричным или асимметричным.
Эксцесс – указывает, является ли распределение крутым или пологим.

Асимметрия

Различают три типа асимметрии :

Положительная асимметрия : распределение имеет больше разных значений справа от среднего значения, чем слева от него.
Симметрия : распределение имеет одинаковое количество значений слева от среднего значения и справа от среднего.
Отрицательная асимметрия : распределение имеет больше разных значений слева от среднего значения, чем справа.

коэффициент асимметрии

Коэффициент асимметрии , или индекс асимметрии , — это статистический коэффициент, который помогает определить асимметрию распределения. Таким образом, рассчитав коэффициент асимметрии, можно узнать тип асимметрии распределения без необходимости его графического представления.

Хотя существуют разные формулы для расчета коэффициента асимметрии, и мы увидим их все ниже, независимо от используемой формулы, интерпретация коэффициента асимметрии всегда производится следующим образом:

Если коэффициент асимметрии положителен, распределение имеет положительную асимметрию .
Если коэффициент асимметрии равен нулю, распределение симметрично .
Если коэффициент асимметрии отрицательный, распределение асимметрично отрицательно .

Коэффициент асимметрии Фишера

Коэффициент асимметрии Фишера равен третьему моменту относительно среднего значения, деленному на стандартное отклонение выборки. Следовательно, формула коэффициента асимметрии Фишера имеет вид:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

Аналогично, для расчета коэффициента Фишера можно использовать любую из следующих двух формул:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

Золото

$E$

это математическое ожидание,

$\mu$

среднее арифметическое,

$\sigma$

стандартное отклонение и

$N$

общее количество данных.

С другой стороны, если данные сгруппированы, вы можете использовать следующую формулу:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

Где в этом случае

$x_i$

Это признак класса и

$f_i$

абсолютная частота курса.

Коэффициент асимметрии Пирсона

Коэффициент асимметрии Пирсона равен разнице между средним значением выборки и модой, деленной на ее стандартное отклонение (или стандартное отклонение). Таким образом , формула для коэффициента асимметрии Пирсона выглядит следующим образом:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

Золото

$A_p$

– коэффициент Пирсона,

$\mu$

среднее арифметическое,

$Mo$

мода и

$\sigma$

стандартное отклонение.

Имейте в виду, что коэффициент асимметрии Пирсона можно рассчитать только в том случае, если это унимодальное распределение, то есть если в данных имеется только одна мода.

Коэффициент асимметрии Боули

Коэффициент асимметрии Боули равен сумме третьего квартиля плюс первый квартиль минус удвоенная медиана, деленная на разницу между третьим и первым квартилем. Таким образом, формула для этого коэффициента асимметрии выглядит следующим образом:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

Золото

$Q_1$

$Q_3$

представляют собой соответственно первый и третий квартили и

$Me$

является медианой распределения.

Сглаживание

Куртозис , также называемый асимметрией , показывает, насколько сконцентрировано распределение вокруг своего среднего значения. Другими словами, эксцесс показывает, является ли распределение крутым или пологим. В частности, чем больше эксцесс распределения, тем оно круче (или острее).

Существует три вида лести :

Лептокуртическое : распределение очень четкое, то есть данные сильно сконцентрированы вокруг среднего значения. Точнее, лептокуртические распределения определяются как распределения, более резкие, чем нормальное распределение.
Мезокуртический : эксцесс распределения эквивалентен эксцессу нормального распределения. Поэтому он не считается ни заостренным, ни сплющенным.
Platicurtic : распределение очень плоское, то есть концентрация около среднего значения низкая. Формально платикуртические распределения определяются как распределения, более пологие, чем нормальное распределение.

Обратите внимание, что различные типы эксцесса определяются путем принятия эксцесса нормального распределения в качестве эталона.

Коэффициент сглаживания

Формула коэффициента эксцесса выглядит следующим образом:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Формула коэффициента эксцесса для данных, сгруппированных в таблицы частот :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Наконец, формула коэффициента эксцесса для данных, сгруппированных по интервалам :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(c_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Золото:

$g_2$

– коэффициент эксцесса.
$N$

общее количество данных.
$x_i$

— i-е данные в ряду.
$\mu$

– среднее арифметическое распределения.
$\sigma$

— стандартное отклонение (или типичное отклонение) распределения.
$f_i$

— абсолютная частота набора данных it.
$c_i$

– классный знак i-й группы.

Обратите внимание, что во всех формулах коэффициента эксцесса 3 вычитается, поскольку это значение эксцесса нормального распределения. Таким образом, расчет коэффициента эксцесса осуществляется с использованием эксцесса нормального распределения в качестве эталона. Именно поэтому иногда в статистике говорят, что рассчитывается чрезмерный эксцесс .

После расчета коэффициента эксцесса его необходимо интерпретировать следующим образом, чтобы определить, какой это тип эксцесса:

Если коэффициент эксцесса положителен, это означает, что распределение лептокуртическое .
Если коэффициент эксцесса равен нулю, это означает, что распределение мезокуртическое .
Если коэффициент эксцесса отрицательный, это означает, что распределение платикуртное .

Другие виды статистических показателей

Вас также могут заинтересовать любые из следующих статистических показателей. Нажмите на них, чтобы узнать, что это такое и как они рассчитываются.

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше

Что такое измерения формы?

Каковы размеры формы?

Асимметрия

коэффициент асимметрии

Коэффициент асимметрии Фишера

Коэффициент асимметрии Пирсона

Коэффициент асимметрии Боули

Сглаживание

Коэффициент сглаживания

Другие виды статистических показателей

Об авторе

бенджамин андерсон

Добавить комментарий