Контрастная статистика

К бенджамин андерсон 3 августа, 2023 Статистика 0 комментариев

В этой статье объясняется, что такое статистика контраста, каковы наиболее распространенные формулы для статистики контраста и многое другое, взаимосвязь между статистикой контраста, областью отклонения и областью принятия.

Какова контрастная статистика?

Статистика контрастности — это переменная с известным распределением вероятностей, связанная с гипотезой исследования. В частности, статистика контраста используется при проверке гипотез, чтобы отвергнуть или принять нулевую гипотезу.

Фактически, решение о том, отклонять или нет нулевую гипотезу проверки гипотезы, основано на значении статистики теста. Если значение тестовой статистики попадает в область отклонения, нулевая гипотеза отклоняется. тогда как, если значение тестовой статистики попадает в область приемлемости, нулевая гипотеза принимается.

➤ См.: Проверка гипотез (статистика).

Формулы контрастной статистики

В зависимости от типа проверки гипотезы распределение статистики теста различно. Таким образом, формула для статистики теста также зависит от типа проверки гипотезы. Итак, далее мы увидим, как рассчитывается статистика теста в зависимости от типа проверки гипотезы.

Статистика контрастности для среднего

Формула статистики проверки гипотез для среднего значения с известной дисперсией :

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Золото:

$Z$

— статистика проверки гипотезы для среднего значения.
$\overline{x}$

это образец означает.
$\mu$

— предложенное среднее значение.
$\sigma$

— стандартное отклонение генеральной совокупности.
$n$

это размер выборки.

После того, как статистика контраста гипотез для среднего рассчитана, результат следует интерпретировать для отклонения или отклонения нулевой гипотезы:

Если проверка гипотезы о среднем является двусторонней, нулевая гипотеза отклоняется, если абсолютное значение статистики превышает критическое значение Z _α/2 .
Если проверка гипотезы для среднего значения соответствует правому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика превышает критическое значение Z _α .
Если проверка гипотезы для среднего значения соответствует левому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика меньше критического значения -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

В этом случае критические значения получаются из таблицы стандартизированного нормального распределения.

С другой стороны, формула статистики проверки гипотез для среднего с неизвестной дисперсией :

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

Золото:

$t$

— это статистика проверки гипотезы для среднего значения, которое определяется t-распределением Стьюдента.
$\overline{x}$

это образец означает.
$\mu$

— предложенное среднее значение.
$s$

— выборочное стандартное отклонение.
$n$

это размер выборки.

Как и раньше, вычисленный результат статистики контрастности необходимо интерпретировать с критическим значением, чтобы отвергнуть или не отвергнуть нулевую гипотезу:

Если проверка гипотезы о среднем является двусторонней, нулевая гипотеза отклоняется, если абсолютное значение статистики больше критического значения t _α/2|n-1 .
Если проверка гипотезы для среднего значения соответствует правому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика больше критического значения t _α|n-1 .
Если проверка гипотезы для среднего значения соответствует левому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика меньше критического значения -t _α|n-1 .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Когда дисперсия неизвестна, критические значения теста получают из таблицы распределения Стьюдента.

➤ См.: Проверка гипотезы для среднего значения.

Контрастная статистика для пропорций

Формула для статистики проверки гипотезы для пропорции :

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

Золото:

$Z$

— статистика проверки гипотезы для пропорции.
$\widehat{p}$

– это доля выборки.
$p$

— предлагаемое значение пропорции.
$n$

это размер выборки.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

– стандартное отклонение пропорции.

Имейте в виду, что недостаточно вычислить статистику проверки гипотезы для пропорции, но затем необходимо интерпретировать результат:

Если проверка гипотезы для доли является двусторонней, нулевая гипотеза отклоняется, если абсолютное значение статистики превышает критическое значение Z _α/2 .
Если проверка гипотезы для доли соответствует правому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика превышает критическое значение Z _α .
Если проверка гипотезы для доли соответствует левому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика меньше критического значения -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Помните, что критические значения можно легко получить из стандартной таблицы нормального распределения.

➤ См.: Проверка гипотезы на пропорцию

Контрастная статистика для дисперсии

Формула для расчета статистики проверки гипотезы на дисперсию :

$\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

Золото:

$\chi^2$

— это статистика проверки гипотезы на предмет дисперсии, которая имеет распределение хи-квадрат.
$n$

это размер выборки.
$s^2$

— выборочная дисперсия.
$\sigma^2$

— это дисперсия предлагаемой совокупности.

Для интерпретации результата статистики полученное значение необходимо сравнить с критическим значением теста.

Если проверка гипотезы на дисперсию является двусторонней, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика превышает критическое значение.
$\chi_{1-\alpha/2|n-1}^2$

или если критическое значение меньше

$\chi_{\alpha/2|n-1}$

.
Если проверка гипотезы на дисперсию соответствует правому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика превышает критическое значение.
$\chi_{1-\alpha|n-1}^2$

.
Если проверка гипотезы на дисперсию соответствует левому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика меньше критического значения.
$\chi_{\alpha|n-1}$

.

$\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Критические значения проверки гипотезы для дисперсии получаются из таблицы распределения хи-квадрат. Обратите внимание, что степени свободы распределения Хи-квадрат равны размеру выборки минус 1.

➤ См.: Проверка гипотезы дисперсии.

Статистика контраста, область отклонения и область принятия

При проверке гипотезы область отклонения — это область графика распределения проверочной статистики, которая предполагает отклонение нулевой гипотезы (и принятие альтернативной гипотезы). С другой стороны, область принятия — это область графика распределения тестовой статистики, которая предполагает принятие нулевой гипотезы (и отклонение альтернативной гипотезы).

Таким образом, значение статистики контрастности определяет результат проверки гипотезы следующим образом:

Если статистика теста попадает в область отклонения, нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная гипотеза.
Если статистика теста попадает в область приемлемости, нулевая гипотеза принимается, а альтернативная гипотеза отклоняется.

Значения, отделяющие область отбраковки от области приемки, называются критическими значениями . Следовательно, нам необходимо рассчитать критические значения, чтобы знать границы области отклонения и области принятия и, следовательно, знать, когда отвергать, а когда принимать нулевую гипотезу.

➤ См.: Критическое значение.

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше

Какова контрастная статистика?

Формулы контрастной статистики

Статистика контрастности для среднего

Контрастная статистика для пропорций

Контрастная статистика для дисперсии

Статистика контраста, область отклонения и область принятия

Об авторе

бенджамин андерсон

Добавить комментарий