Введение в отрицательное биномиальное распределение

Отрицательное биномиальное распределение описывает вероятность появления определенного количества неудач перед достижением определенного количества успехов в серии испытаний Бернулли.

Испытание Бернулли — это эксперимент только с двумя возможными исходами — «успех» или «неудача» — и вероятность успеха одинакова каждый раз, когда проводится эксперимент.

Примером эссе Бернулли является подбрасывание монеты. Монета может упасть только на два орла (мы могли бы назвать орла «попаданием», а решку — «провалом»), и вероятность успеха при каждом подбрасывании равна 0,5, если предположить, что монета честная.

Если случайная величина _

P(X=k) = _k+r-1 C _k * (1-p) ^r *p ^k

Золото:

• k: количество отказов
• r: количество успехов
• p: вероятность успеха в данном испытании
• _k+r-1 C _k : количество комбинаций (k+r-1) вещей, взятых k за раз.

Например, предположим, что мы подбрасываем монету и определяем «успешное» событие как выпадение орла. Какова вероятность того, что вы столкнетесь с 6 неудачами прежде, чем получите в общей сложности 4 успеха?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем использовать отрицательное биномиальное распределение со следующими параметрами:

• k: количество отказов = 6
• r: количество успехов = 4
• p: вероятность успеха в данном испытании = 0,5.

Подставляя эти числа в формулу, мы находим, что вероятность равна:

P(X=6 отказов) = _6+4-1 C ₆ * (1-.5) ⁴ *(.5) ⁶ = (84)*(.0625)*(.015625) = 0.08203 .

Свойства отрицательного биномиального распределения

Отрицательное биномиальное распределение обладает следующими свойствами:

Среднее количество неудач, которые мы ожидаем, прежде чем получим r успехов, равно pr/(1-p) .

Дисперсия числа неудач, ожидаемых до получения r успехов, равна pr / (1-p) ² .

Например, предположим, что мы подбрасываем монету и определяем «успешное» событие как выпадение орла.

Среднее количество неудач (например, приземление хвостом), которое мы ожидаем до получения 4 успехов, будет pr/(1-p) = (.5*4) / (1-.5) = 4 .

Дисперсия числа неудач, которые мы ожидаем до получения 4 успехов, будет равна pr/(1-p) ² = (.5*4)/(1-.5) ² = 8 .

Практические задачи отрицательного биномиального распределения

Используйте следующие практические задачи, чтобы проверить свои знания об отрицательном биномиальном распределении.

Примечание. Для расчета ответов на эти вопросы мы воспользуемся калькулятором отрицательного биномиального распределения .

Проблема 1

Вопрос: Предположим, мы подбрасываем монету и определяем «успешное» событие как выпадение орла. Какова вероятность того, что произойдет 3 неудачи, прежде чем произойдет в общей сложности 4 успеха?

Ответ: Используя калькулятор отрицательного биномиального распределения с k = 3 неудачами, r = 4 успехами и p = 0,5, мы находим, что P(X=3) = 0,15625 .

Проблема 2

Вопрос: Предположим, мы ходим по домам и продаем конфеты. Мы считаем «успехом», если кто-то покупает шоколадку. Вероятность того, что данный человек купит шоколадку, равна 0,4. Какова вероятность 8 неудач перед 5 успехами?

Ответ: Используя калькулятор отрицательного биномиального распределения с k = 8 неудачами, r = 5 успехами и p = 0,4, мы находим, что P(X=8) = 0,08514 .

Проблема 3

Вопрос: Предположим, мы бросаем кубик и определяем «успешный» бросок как выпадение числа 5. Вероятность того, что на кубике выпадет число 5 при данном броске, равна 1/6 = 0,167. Какова вероятность того, что вы столкнетесь с 4 неудачами прежде, чем получите в общей сложности 3 успеха?

Ответ: Используя калькулятор отрицательного биномиального распределения с k = 4 неудачами, r = 3 успехами и p = 0,167, мы находим, что P(X=4) = 0,03364 .