Введение в полиномиальное распределение

Полиномиальное распределение описывает вероятность получения определенного количества отсчетов для k различных результатов, когда каждый результат имеет фиксированную вероятность наступления.

_{Если случайную} величину _{_} можно найти по следующей формуле:

Вероятность = n! * (p ₁ ^{x ₁} * p ₂ ^{x ₂} * … * p _k ^{x _k} ) / (x ₁ ! * x ₂ ! … * x _k !)

Золото:

• n: общее количество событий
• x ₁ : количество раз, когда возникает результат 1
• p ₁ : вероятность того, что результат 1 произойдет в данном испытании.

Например, предположим, что в урне 5 красных шариков, 3 зеленых шарика и 2 синих шарика. Если мы случайным образом вытащим из урны 5 шариков с заменой, какова вероятность получить ровно 2 красных шарика, 2 зеленых шарика и 1 синий шарик?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем использовать полиномиальное распределение со следующими параметрами:

• н : 5
• x ₁ (# красных шариков) = 2, x ₂ (# зеленых шариков) = 2, x ₃ (# синих шариков) = 1
• p ₁ (красная вероятность) = 0,5, p ₂ (зеленая вероятность) = 0,3, p ₃ (синяя вероятность) = 0,2

Подставляя эти числа в формулу, мы находим, что вероятность равна:

Вероятность = 5! * (.5 ² * .3 ² * .2 ¹ ) / (2! * 2! * 1!) = 0,135 .

Практические задачи полиномиального распределения

Используйте следующие практические задачи, чтобы проверить свои знания о полиномиальном распределении.

Примечание. Для расчета ответов на эти вопросы мы воспользуемся калькулятором полиномиального распределения .

Проблема 1

Вопрос: На трехсторонних выборах мэра кандидат А получает 10% голосов, кандидат Б — 40% голосов, кандидат С — 50% голосов. Если мы выберем случайную выборку из 10 избирателей, какова вероятность того, что 2 проголосуют за кандидата А, 4 проголосуют за кандидата В и 4 проголосуют за кандидата С?

Ответ: Используя калькулятор полиномиального распределения со следующими входными данными, мы находим, что вероятность равна 0,0504:

Проблема 2

Вопрос: Предположим, в урне лежат 6 желтых шариков, 2 красных шарика и 2 розовых шарика. Если мы случайным образом выберем из урны 4 шара с заменой, какова вероятность того, что все 4 шара будут желтыми?

Ответ: Используя калькулятор полиномиального распределения со следующими входными данными, мы находим, что вероятность равна 0,1296:

Проблема 3

Вопрос: Предположим, два ученика играют друг против друга в шахматы. Вероятность того, что студент А выиграет данную игру, равна 0,5, вероятность того, что студент Б выиграет данную игру, равна 0,3, а вероятность того, что в данной игре будет ничья, равна 0,2. Если они сыграют 10 игр, какова вероятность того, что игрок А выиграет 4 раза, игрок Б выиграет 5 раз и что они 1 раз сравняют счет?

Ответ: Используя калькулятор полиномиального распределения со следующими входными данными, мы находим, что вероятность равна 0,038272:

Дополнительные ресурсы

Следующие учебные пособия знакомят с другими распространенными распределениями в статистике:

Введение в нормальное распределение
Введение в биномиальное распределение
Введение в распределение Пуассона
Введение в геометрическое распределение