Что такое поправочный коэффициент конечной численности населения?

Большинство формул, используемых для расчета стандартных ошибок , основаны на идее, что (1) выборки выбираются с заменой или (2) выборки выбираются из бесконечной совокупности.

В реальных исследованиях ни одна из этих идей не соответствует действительности. К счастью, это обычно не является проблемой, если размер выборки составляет менее 5% от общей численности населения.

Однако, когда размер выборки превышает 5% от общей численности населения, предпочтительнее применять поправку на конечную совокупность (часто сокращенно FPC ), которая рассчитывается следующим образом:

ФПК = √ (Нн) / (Н-1)

Золото:

• N: Численность населения
• n: размер выборки

Как использовать поправочный коэффициент конечной численности населения

Чтобы применить поправку на конечную численность, просто умножьте ее на стандартную ошибку, которую вы использовали бы изначально.

Например, стандартная ошибка среднего рассчитывается следующим образом:

Стандартная ошибка среднего: s / √ n

Применяя поправку на конечную численность, формула принимает вид:

Стандартная ошибка среднего: s / √ n * √ (Nn) / (N-1)

Следующие примеры иллюстрируют, как использовать поправку на конечную численность населения в различных сценариях.

Пример 1: Доверительный интервал для доли

Исследователи хотят оценить долю жителей округа с населением в 1300 человек, выступающих за принятие определенного закона. Они выбирают случайную выборку из 100 жителей и спрашивают их об их позиции по закону. Вот результаты:

• Размер выборки n = 100
• Доля в пользу закона p = 0,56

Как правило, формула для расчета 95% доверительного интервала для доли населения выглядит следующим образом:

95% ДИ = p +/- z*(√ p(1-p) / n )

Однако размер нашей выборки в этом примере составляет 100/1300 = 7,7% населения, что превышает 5%. Таким образом, мы должны применить поправку на конечную численность к нашей формуле для доверительного интервала:

95% ДИ = p +/- z*(√ p(1-p)/n ) * √ (Nn) / (N-1)

Таким образом, наш 95% доверительный интервал можно рассчитать как:

95% ДИ = 0,56 +/- 1,96*(√ 0,56(1-0,56)/100 ) * √ (1300-100)/(1300-1) = [0,4665, 0,6535]

Пример 2: Доверительный интервал для среднего значения

Исследователи хотят оценить средний вес определенного вида среди 500 черепах. Поэтому они выбирают случайную выборку из 40 черепах и взвешивают каждую из них. Вот результаты:

• Размер выборки n = 40
• Средний вес выборки x = 300
• Выборочное стандартное отклонение s = 18,5

Как правило, формула для расчета 95% доверительного интервала для среднего значения генеральной совокупности выглядит следующим образом:

95% ДИ = x +/- t _α/2 *(s/√n)

Однако размер нашей выборки в этом примере составляет 40/500 = 8% населения, что превышает 5%. Таким образом, мы должны применить поправку на конечную численность к нашей формуле для доверительного интервала:

95% ДИ = x +/- t _α/2 *(s/√n) * √ (Nn) / (N-1)

Таким образом, наш 95% доверительный интервал можно рассчитать как:

95% ДИ = 300 +/- 2,0227*(18,5/√ 40 ) * √ (500-40) / (500-1) = [294,32, 305,69]

Дополнительные ресурсы

Что такое доверительные интервалы?
Погрешность и стандартная ошибка: в чем разница?
Стандартное отклонение и стандартная ошибка: в чем разница?