Правило умножения

К бенджамин андерсон 1 августа, 2023 Вероятность 0 комментариев

В этой статье объясняется, что такое правило умножения, также называемое правилом произведения, в теории вероятностей. Итак, вы найдете, какова формула правила умножения, примеры того, как вычислить вероятность с помощью правила умножения и, кроме того, несколько решенных упражнений на практику.

Правило умножения зависит от того, являются ли события независимыми или зависимыми, поэтому мы сначала посмотрим, как правило выглядит для независимых событий, а затем для зависимых событий.

Правило умножения для независимых событий

Помните, что независимые события — это результаты статистического эксперимента, вероятность возникновения которых не зависит друг от друга. Другими словами, два события А и В независимы, если вероятность наступления события А не зависит от наступления события В и наоборот.

➤ См.: Что такое независимые события?

Формула правила умножения для независимых событий

Когда два события независимы, правило умножения гласит, что совместная вероятность возникновения обоих событий равна произведению вероятности возникновения каждого события.

Следовательно, формула правила умножения независимых событий имеет вид:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Золото:

$A$

И

$B$

Это два независимых события.
$P(A\cap B)$

— это совместная вероятность того, что событие A и событие B произойдут.
$P(A)$

это вероятность того, что событие А произойдет.
$P(B)$

— вероятность того, что событие B произойдет.

➤ См.: Что такое совместная вероятность?

Пример правила умножения для независимых событий

Монету бросают три раза подряд. Рассчитайте вероятность того, что при всех трех бросках выпадет решка.

В этом случае события, для которых мы хотим рассчитать совместную вероятность, независимы, поскольку результат розыгрыша не зависит от результата, полученного в предыдущем розыгрыше. Следовательно, чтобы определить совместную вероятность выпадения трех последовательных орлов, нам нужно воспользоваться формулой правила умножения независимых событий:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Когда мы подбрасываем монету, есть только два возможных результата: мы можем получить орел или решку. Следовательно, вероятность выпадения орла или решки при подбрасывании монеты равна:

$P(\text{cara})=\cfrac{1}{2}=0,5$

$P(\text{cruz})=\cfrac{1}{2}=0,5$

Итак, чтобы найти вероятность выпадения орла при всех трех подбрасываниях монеты, нам нужно умножить вероятность выпадения орла на три:

$P(\text{cara}\cap \text{cara}\cap \text{cara})=0,5\cdot 0,5\cdot 0,5=0,125$

Короче говоря, вероятность выпадения орла три раза подряд составляет 12,5%.

Ниже вы увидите все возможные события с их вероятностями в виде древовидной диаграммы. Таким образом, вы сможете лучше увидеть процесс, которому мы следовали, чтобы получить совместную вероятность:

➤ См.: Что такое древовидная диаграмма?

Правило умножения для зависимых событий

Теперь, когда мы увидели, что такое правило умножения для независимых событий, давайте посмотрим, как этот закон выглядит для зависимых событий, поскольку формула немного меняется.

Помните, что зависимые события — это результаты случайного эксперимента, вероятность возникновения которых зависит друг от друга. То есть два события являются зависимыми, если вероятность возникновения одного события влияет на вероятность возникновения другого события.

➤ См.: Что такое зависимые события?

Формула правила умножения для зависимых событий

Когда два события зависимы, правило умножения гласит, что совместная вероятность возникновения обоих событий равна произведению вероятности появления одного события на условную вероятность другого события с учетом первого события.

Итак, формула правила умножения зависимых событий такова:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

Золото:

$A$

И

$B$

Это два зависимых события.
$P(A\cap B)$

— это вероятность того, что произойдет событие A и событие B.
$P(A)$

это вероятность того, что событие А произойдет.
$P(B|A)$

— условная вероятность того, что событие B произойдет при данном событии A.

➤ См.: Что такое условная вероятность?

Пример правила умножения для зависимых событий

В пустую коробку положим 8 синих шаров, 4 оранжевых шара и 2 зеленых шара. Если мы сначала вытянем один шар, а затем другой, не кладя первый вытянутый шар обратно в коробку, какова вероятность того, что первый шар будет синим, а второй — оранжевым?

В данном случае события зависимы, поскольку вероятность подобрать оранжевый шар во втором розыгрыше зависит от цвета шара, выпавшего в первом розыгрыше. Поэтому для расчета совместной вероятности нам необходимо воспользоваться формулой правила умножения зависимых событий:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

Вероятность получения синего шара в первом розыгрыше легко определить, просто разделив количество синих шаров на общее количество шаров:

$P(\text{bola azul})=\cfrac{8}{8+4+2}=\cfrac{8}{14}=0,57$

С другой стороны, вероятность вытянуть оранжевый шар после взятия синего шара рассчитывается иначе, поскольку количество оранжевых шаров другое и, кроме того, внутри коробки теперь на один шар меньше:

$P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\cfrac{4}{7+4+2}=\cfrac{4}{13}=0,31$

Таким образом, совместная вероятность вытянуть сначала синий шар, а затем оранжевый шар вычисляется путем умножения двух найденных выше вероятностей:

$\begin{array}{l}P(\text{bola azul}\cap\text{bola naranja})=\\[2ex]=P(\text{bola azul})\cdot P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\\[2ex]=0,57\cdot 0,31= \\[2ex]=0,18\end{array}$

➤ См.: Правило сложения.

Решенные упражнения правила умножения

Упражнение 1

В городе всего 3 детских сада: 60% детей ходят в детский сад А, 30% в детский сад Б и 10% в детский сад С. Кроме того, в трех детских садах 55% детей — девочки. Рассчитайте следующие вероятности:

Вероятность того, что когда из детского сада B случайно выберут ребенка, это будет девочка.
Вероятность того, что из любого детского сада случайно выберут ребенка, и это будет мальчик.

Посмотреть решение

Если доля девочек во всех детских садах составляет 55%, процент мальчиков рассчитывается простым вычитанием 1 минус 0,55:

$P(\text{chico})=1-0,55=0,45$

Теперь, когда мы знаем все вероятности, мы можем создать дерево вероятностей всех возможностей:

В этом случае события независимы, поскольку вероятность того, что это будет мальчик или девочка, не зависит от выбранного детского сада. Итак, чтобы найти вероятность случайного выбора девочки из детского сада B, нужно умножить вероятность выбора детского сада B на вероятность выбора девочки:

$P(\text{chica guarder\'ia B})=0,30\cdot 0,55=\bm{0,165}$

С другой стороны, чтобы определить вероятность выбора мальчика в любой детский сад, мы должны сначала вычислить вероятность выбора мальчика для каждого детского сада, а затем сложить их:

$P(\text{chico guarder\'ia A})=0,6\cdot 0,45=0,27$

$P(\text{chico guarder\'ia B})=0,30\cdot 0,45=0,135$

$P(\text{chico guarder\'ia C})=0,10\cdot 0,45=0,045$

$P(\text{chico guarder\'ia A, B o C})=0,27+0,135+0,045=\bm{0,45}$

Упражнение 2

Был изучен финансовый год 25 компаний в стране и то, как меняются цены их акций в зависимости от экономического результата года. Вы можете увидеть собранные данные в следующей таблице непредвиденных обстоятельств:

Упражнение на условную вероятность решено

Насколько вероятно, что компания получит прибыль и одновременно увидит рост цен на свои акции?

Посмотреть решение

В этом случае события являются зависимыми, поскольку вероятность роста или падения акций зависит от экономического результата. Следовательно, нам необходимо применить формулу правила умножения для зависимых событий:

$P(\text{beneficio}\cap\text{precio sube})}=P(\text{beneficio})\cdot P(\text{precio sube}|\text{beneficio})$

Поэтому мы сначала вычисляем вероятность того, что компания получит прибыль, и, во-вторых, вероятность того, что акции компании вырастут, когда она получит экономическую прибыль:

$P(\text{beneficio})=\cfrac{14}{25}=0,56$

$P(\text{precio sube}|\text{beneficio})=\cfrac{10}{14}=0,71$

Далее подставляем рассчитанные значения в формулу и вычисляем совместную вероятность:

$\begin{array}{l}P(\text{beneficio}\cap\text{precio sube})}=\\[2ex]=P(\text{beneficio})\cdot P(\text{precio sube}|\text{beneficio})=\\[2ex]= 0,56\cdot 0,71=\\[2ex] =\bm{0,4} \end{array}$

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше