Что такое свойство без памяти? (определение & #038; пример)

В статистике говорят, что распределение вероятностей обладает свойством отсутствия памяти , если на вероятность возникновения будущего события не влияет возникновение прошлых событий.

Существует только два распределения вероятностей со свойством без памяти:

• Экспоненциальное распределение с неотрицательными действительными числами.
• Геометрическое распределение с неотрицательными целыми числами.

Эти два распределения вероятностей используются для моделирования ожидаемого времени до того, как событие произойдет.

Оказывается, в любой момент времени знание того, сколько времени уже прошло, на самом деле не говорит нам о том, произойдет ли событие с большей вероятностью раньше или позже.

Следующие примеры помогут нам лучше понять свойство отсутствия памяти.

Интуиция собственности без памяти

Рассмотрим следующие примеры:

Не без памяти

Известно, что ноутбуки определенной марки служат в среднем около 6 лет, прежде чем выйти из строя. Итак, если мы знаем, что конкретному ноутбуку 5 лет, ожидаемое время до его смерти будет довольно коротким. Однако, если другому ноутбуку всего 1 год, ожидаемое время до его выхода из строя будет довольно долгим.

В этом примере знание того, сколько времени прошло в течение срока службы каждого ноутбука, говорит нам, как долго ноутбук будет продолжать работать, пока не выйдет из строя. Таким образом, это распределение вероятностей не имело бы никаких свойств без памяти.

Без памяти

Думаю, у Джессики есть мини-маркет. Она хочет знать, как долго ей придется ждать, пока в магазин войдет следующий покупатель.

В этом примере знание того, когда последний покупатель вошел в магазин, на самом деле бесполезно для прогнозирования того, когда войдет следующий покупатель, поскольку каждый покупатель независим и демонстрирует индивидуальное поведение.

Таким образом, это распределение вероятностей будет обладать свойством отсутствия памяти. Другими словами, вероятность возникновения будущего события не зависит от возникновения прошлых событий.

Свойство без памяти: формальное определение

Говоря формальными статистическими терминами, говорят, что случайная величина X подчиняется распределению вероятностей со свойством без памяти, если для a и b   в {0, 1, 2, …} верно, что:

Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )

Например, предположим, что у нас есть распределение вероятностей со свойством отсутствия памяти, а X — это количество попыток до первого успеха. Если a = 30 и b = 10, мы бы сказали:

• Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
• Pr(X > 30 + 10 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)
• Pr(X > 40 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)

Другими словами, если у нас было 30 неудачных попыток, то вероятность того, что нам придется дождаться попытки № 40 или позже, чтобы добиться успеха, такая же, как вероятность начать с нуля и дождаться попытки № 10. или больше, чтобы добиться успеха.

Поскольку это распределение вероятностей обладает свойством отсутствия памяти, это означает, что знание количества сбоев, которые у нас были до определенного момента, еще не говорит нам о вероятности сбоя в будущем.

Свойство без памяти: пример

Предположим, что в магазин заходит в среднем 30 покупателей в час и время между приходами распределено экспоненциально. Между последовательными посещениями в среднем проходит 2 минуты.

Предполагается, что с момента прибытия последнего клиента прошло 10 минут. Учитывая, что это необычно длительный период времени, более вероятно, что клиент прибудет в течение минуты.

Однако, поскольку экспоненциальное распределение обладает свойством отсутствия памяти, это не так. Время, потраченное на ожидание прибытия следующего клиента, не зависит от времени, прошедшего с момента прибытия последнего клиента.

Мы можем доказать это, используя CDF экспоненциального распределения:

CDF: 1 – e ^-λx

где λ рассчитывается как 1/среднее время между прибытиями. В нашем примере λ = 1/2 = 0,5.

Если мы установим a = 10 и b = 1, то мы имеем:

• Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
• Пр( ^Х > 10 + 1 |

Независимо от того, сколько времени прошло с момента прибытия последнего клиента, вероятность того, что до следующего прибытия пройдет больше минуты, равна 0,6065 .