Аксиомы вероятности

К бенджамин андерсон 1 августа, 2023 Без категории 0 комментариев

В этой статье объясняется, что такое аксиомы вероятности. Так вы узнаете аксиоматическое определение вероятности, какие бывают аксиомы вероятности и примеры их применения.

Каковы 3 аксиомы вероятности?

Аксиомы вероятности таковы:

Аксиома вероятности 1 : Вероятность события не может быть отрицательной.
Аксиома вероятности 2 : Вероятность определенного события равна 1.
Аксиома вероятности 3 : Вероятность набора исключительных событий равна сумме всех вероятностей.

Три аксиомы вероятности также известны как аксиомы Колмогорова , поскольку они были сформулированы этим русским математиком в 1933 году.

Каждый тип аксиомы вероятности объясняется более подробно ниже.

Аксиома 1

Первая аксиома вероятности гласит, что вероятность наступления события не может быть отрицательной, поэтому ее значение находится в диапазоне от 0 до 1.

$0\leq P(A)\leq 1$

Если вероятность события равна нулю, это означает, что оно не может произойти. С другой стороны, если вероятность события равна 1, это означает, что это событие обязательно произойдет. Таким образом, чем выше значение вероятности события, тем более вероятно, что оно произойдет.

аксиома 2

Вторая аксиома вероятности гласит, что вероятность наступления определенного события равна 1.

$P(\Omega)=1$

Определенное событие — это результат случайного опыта, который всегда будет происходить. Следовательно, безопасное событие также можно определить как выборочное пространство рандомизированного эксперимента.

➤ См.: Безопасное событие.

Аксиома 3

Третья аксиома вероятности гласит, что при наличии набора исключительных событий совместная вероятность всех событий эквивалентна сумме всех вероятностей возникновения.

$A\cap B= \varnothing \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Два или более события считаются исключительными, если они не могут произойти одновременно. Поэтому для расчета совместной вероятности не обязательно учитывать вероятность их одновременного возникновения.

➤ См.: Исключение событий.

Пример аксиом вероятности

В качестве примера ниже мы проанализируем несколько результатов эксперимента по бросанию игральной кости, чтобы вы увидели, что аксиомы вероятности выполняются.

Когда вы бросаете кубик, есть шесть возможных результатов, а именно:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

В этом случае все исходы одинаково вероятны, поэтому для определения вероятности наступления каждого исхода нам просто нужно найти вероятность исхода. Итак, применимформулу правила Лапласа для расчета вероятности каждого возможного исхода:

$P(\text{cualquier n\'umero})=\cfrac{1}{6}=0,167$

Тогда, поскольку вероятность получения каждого результата положительна, первая аксиома вероятности удовлетворяется.

Теперь проверим вторую аксиому. В данном случае определенное событие «получает число от 1 до 6», поэтому добавляем вероятность получения каждого результата:

$\begin{array}{l}P(\text{n\'umero del 1 al 6})=\\[2ex]=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=\\[2ex]=0,167+0,167+0,167+0,167+0,167+0,167=\\[2ex]=1\end{array}$

Таким образом, вероятность определенного события равна 1, следовательно, выполняется и вторая аксиома вероятности.

Наконец, остается только проверить третью аксиому вероятности. Различные результаты, которые мы можем получить, бросая игральную кость, являются взаимоисключающими, поскольку, например, если мы выкинем 2, мы больше не сможем получить 5. Следовательно, расчет для получения любых двух чисел можно выполнить двумя способами: используя Правило Лапласа или путем сложения вероятности каждого исхода.

$P(2 \text{ o } 5)=\cfrac{2}{6}=0,33$

$P(2 \text{ o } 5)=P(2)+P(5)=0,167+0,167=0,33$

В обоих случаях мы получаем одно и то же значение вероятности, поэтому третья аксиома вероятности также верна.

Свойства, выведенные из аксиом вероятности

Из трех аксиом вероятности мы можем вывести следующие свойства:

Вероятность невозможного события равна нулю.

$P(\varnothing)=0$

Вероятность любого события равна или меньше 1.

$P(A)\leq 1$

$0\leq P(A)\leq 1$

Вероятность события равна единице минус вероятность дополняющего его события .

$P(A)=1-P\left(\overline{A}\right)$

Если событие включено в другое событие, вероятность первого события должна быть меньше или равна вероятности второго события.

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

Вероятность объединения двух событий равна сумме их вероятностей минус вероятность их пересечения.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Учитывая набор несовместимых событий два на два, их совместная вероятность рассчитывается путем сложения вероятности возникновения каждого события.

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

Если выборочное пространство конечно и событие S={x ₁ ,x ₁ ,…,x _k }, вероятность появления указанного события эквивалентна следующему выражению:

$P(S)=P(x_1)+P(x_2)+\ldots+P(x_n)$

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше