Как найти вероятность событий a и b: с примерами

Учитывая два события, A и B, «найти вероятность A и B» означает найти вероятность того, что событие A и событие B произойдут .

Обычно мы записываем эту вероятность двумя способами:

• P(A и B) – Письменная форма
• P(A∩B) – Обозначение формы

То, как мы вычисляем эту вероятность, зависит от того, являются ли события A и B независимыми или зависимыми.

Если A и B независимы , то формула, которую мы используем для расчета P(A∩B), проста:

 Independent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B)

Если A и B зависимы , то формула, которую мы используем для расчета P(A∩B), следующая:

 Dependent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B|A)

Обратите внимание, что P(B|A) — это условная вероятность возникновения события B при условии , что   происходит событие А.

Следующие примеры показывают, как использовать эти формулы на практике.

Примеры P(A∩B) для независимых событий

Следующие примеры показывают, как вычислить P(A∩B), когда A и B являются независимыми событиями.

Пример 1. Вероятность того, что ваша любимая бейсбольная команда выиграет Мировую серию, равна 1/30, а вероятность того, что ваша любимая футбольная команда выиграет Суперкубок, равна 1/32. Какова вероятность того, что две ваши любимые команды выиграют свои чемпионаты?

Решение: В этом примере вероятность возникновения каждого события не зависит от другого. Таким образом, вероятность того и другого рассчитывается следующим образом:

P(A∩B) = (1/30) * (1/32) = 1/960 = 0,00104.

Пример 2. Вы одновременно бросаете кубик и подбрасываете монету. Какова вероятность того, что на кубике выпадет цифра 4, а на монете выпадет решка?

Решение: В этом примере вероятность возникновения каждого события не зависит от другого. Таким образом, вероятность того и другого рассчитывается следующим образом:

Р(А∩В) = (1/6) * (1/2) = 1/12 = 0,083333.

Примеры P(A∩B) для зависимых событий

Следующие примеры показывают, как вычислить P(A∩B), когда A и B являются зависимыми событиями.

Пример 1: В урне 4 красных и 4 зеленых шара. Вы случайным образом выбираете шар из урны. Затем без замены вы выбираете другой шар. Какова вероятность того, что вы каждый раз выберете красный шар?

Решение: В этом примере цвет шара, который вы выбираете в первый раз, влияет на вероятность выбора красного шара во второй раз. Таким образом, эти два события являются зависимыми.

Определим событие А как вероятность выбора красного шара в первый раз. Эта вероятность равна P(A) = 4/8. Далее нам нужно найти вероятность повторного выбора красного шара, учитывая , что первый шар был красным. В этом случае на выбор осталось всего 3 красных шара, а всего в урне всего 7 шаров. Таким образом, P(B|A) равно 3/7.

Таким образом, вероятность того, что мы каждый раз выберем красный шар, будет рассчитываться следующим образом:

Р(А∩В) = Р(А) * Р(В|А) = (4/8) * (3/7) = 0,214.

Пример 2: В определенном классе 15 мальчиков и 12 девочек. Предположим, мы сложили имена каждого ученика в сумку. Случайным образом выбираем имя из мешочка. Затем без замены выбираем другое имя. Какова вероятность того, что оба имени — мальчики?

Решение: В этом примере первое имя, которое мы выбираем в первый раз, влияет на вероятность выбора имени мальчика на втором рисунке. Таким образом, эти два события являются зависимыми.

Определим событие А как вероятность первого выбора мальчика. Эта вероятность равна P(A) = 15/27. Далее нам нужно снова найти вероятность выбора мальчика, учитывая , что имя было мальчик. В этом случае на выбор осталось всего 14 мальчиков, а всего в мешке всего 26 имен. Таким образом, P(B|A) равно 14/26.

Таким образом, вероятность того, что мы каждый раз выбираем имя мальчика, будет рассчитываться следующим образом:

Р(А∩В) = Р(А) * Р(В|А) = (15/27) * (14/26) = 0,299.