Геометрическое распределение

К бенджамин андерсон 3 августа, 2023 Вероятность 0 комментариев

В этой статье объясняется, что такое геометрическое распределение в статистике. Таким образом, вы найдете определение геометрического распределения, примеры геометрических распределений и свойства этого типа распределения вероятностей. Дополнительно вы можете посчитать любую вероятность геометрического распределения с помощью онлайн-калькулятора.

Что такое геометрическое распределение?

Геометрическое распределение — это распределение вероятностей, определяющее количество испытаний Бернулли, необходимое для получения первого успешного результата.

То есть геометрическое распределение моделирует процессы, в которых эксперименты Бернулли повторяются до тех пор, пока один из них не получит положительный результат.

Помните, что тест Бернулли — это эксперимент, имеющий два возможных результата: «успех» и «неуспех». Таким образом, если вероятность «успеха» равна p , вероятность «неудачи» равна q=1-p .

Таким образом, геометрическое распределение зависит от параметра p , который представляет собой вероятность успеха всех проведенных экспериментов. Более того, вероятность p одинакова для всех экспериментов.

$X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

Точно так же геометрическое распределение можно определить как количество неудач до первого успеха. В этом случае распределение может принимать значение x=0 и его формула незначительно меняется. Но наиболее распространенным является возвращение к определению геометрического распределения, объясненному в начале этого раздела.

Примеры геометрического распределения

После того, как мы ознакомились с определением геометрического распределения, в этом разделе показано несколько примеров случайных величин, которые соответствуют этому типу распределения.

Примеры геометрического распределения:

Количество подбрасываний монеты до получения орла.
Количество автомобилей, проезжающих по дороге до тех пор, пока они не увидят красную машину.
Сколько раз человек должен сдавать экзамен по вождению, прежде чем он его сдаст.
Количество бросков кубиков, пока не выпадет число 6.
Количество штрафных бросков, которое необходимо выполнить, пока не будет забит гол.

Формула геометрического распределения

В геометрическом распределении вероятность того, что придется провести x испытаний для получения положительного результата, равна произведению параметра p раз (1-p) в степени x-1 .

Следовательно, формула для расчета вероятности геометрического распределения имеет вид:

👉 Вы можете использовать калькулятор ниже, чтобы рассчитать вероятность переменной, которая соответствует геометрическому распределению.

С другой стороны, формула функции распределения, позволяющая вычислить кумулятивную вероятность геометрического распределения, выглядит следующим образом:

$P[X\leq x]=1-(1-p)^x$

Упражнение по геометрическому распределению решено.

Какова вероятность выпадения числа 5 при третьем броске игральной кости?

Распределение вероятностей этой задачи является геометрическим распределением, поскольку оно определяет количество необходимых бросков (три) для получения успешного результата (число 5).

Поэтому мы должны сначала рассчитать вероятность успеха каждого запуска. В этом случае из шести возможных исходов возможен только один положительный исход, поэтому вероятность p равна:

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

А затем применяем формулу геометрического распределения, чтобы определить вероятность, которую нам задает упражнение:

$\begin{aligned}\displaystyle P[X=x]&=(1-p)^{x-1}\cdot p\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=\left(1-\frac{1}{6}\right)^{3-1}\cdot \frac{1}{6}\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=0,1157\end{aligned}$

Геометрические характеристики распределения

Геометрическое распределение отвечает следующим характеристикам:

Геометрическое распределение имеет характерный параметр p , который представляет собой вероятность успеха каждого из проведенных экспериментов.

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{c} of each experiment carried out.</li></ul>[latex]E[X]=\cfrac{1}{p}

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \begin{array}{c}
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...0 <ul><li> The mean of the general distribution
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...><li> The mean of the geometric distribution
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...ne of the geometric distribution is
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...the geometric distribution is equal to
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...geometric tion is equal to one divided
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...st equals one divided by probability
Please use \mathaccent for accents in math mode.

Дисперсия геометрического распределения эквивалентна разнице 1 минус p в квадрате p .

$Var(X)=\cfrac{1-p}{p^2}$

Формула функции масс геометрического распределения:

$P[X=x]=(1-p)^{x-1}\cdot p$

Аналогично, формула для кумулятивной функции вероятности геометрического распределения:

$P[X\leq x]=1-(1-p)^x$

Геометрическое распределение является частным случаем отрицательного биномиального распределения. Точнее, это эквивалентно отрицательному биномиальному распределению с параметром r=1 .

$X\sim \text{BN}(1,p) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

➤ См.: Отрицательное биномиальное распределение.
➤ См.: Биномиальное распределение.

Калькулятор геометрического распределения

Введите значение параметра p и значение x в следующий калькулятор, чтобы вычислить вероятность. Вам нужно выбрать вероятность, которую вы хотите рассчитать, и ввести числа, используя точку в качестве десятичного разделителя, например 0,1667.

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше