Как интерпретировать z-показатели: с примерами

В статистике z-показатель говорит нам, на сколько стандартных отклонений данное значение отличается от среднего . Для расчета z-показателя мы используем следующую формулу:

z = (X – µ)/σ

Золото:

• X — одно значение необработанных данных
• μ — среднее значение
• σ — стандартное отклонение

Z-показатель для отдельного значения можно интерпретировать следующим образом:

• Положительный z-показатель: индивидуальное значение выше среднего.
• Отрицательный z-показатель: индивидуальное значение ниже среднего.
• Z-показатель 0: индивидуальное значение равно среднему.

Чем больше абсолютное значение z-показателя, тем дальше отдельное значение находится от среднего значения.

В следующем примере показано, как рассчитать и интерпретировать z-показатели.

Пример: расчет и интерпретация Z-показателей

Предположим, что баллы на данном экзамене обычно распределяются со средним значением 80 и стандартным отклонением 4.

Вопрос 1. Найдите z-показатель для результата экзамена 87.

Для расчета z-показателя мы можем использовать следующие шаги:

• В среднем μ = 80
• Стандартное отклонение составляет σ = 4.
• Индивидуальная ценность, которая нас интересует,
• Таким образом, z = (X – µ)/σ = (87 – 80)/4 = 1,75 .

Это говорит нам о том, что результат экзамена, равный 87, на 1,75 стандартных отклонения выше среднего .

Вопрос 2: Найдите z-показатель для результата экзамена 75.

Для расчета z-показателя мы можем использовать следующие шаги:

• В среднем μ = 80
• Стандартное отклонение составляет σ = 4.
• Индивидуальное значение, которое нас интересует, — X = 75.
• Таким образом, z = (X – µ)/σ = (75 – 80)/4 = – 1,25 .

Это говорит нам о том, что результат теста, равный 75, на 1,25 стандартных отклонения ниже среднего .

Вопрос 3. Найдите z-показатель для результата экзамена 80.

Для расчета z-показателя мы можем использовать следующие шаги:

• В среднем μ = 80
• Стандартное отклонение составляет σ = 4.
• Индивидуальное значение, которое нас интересует, — X = 80.
• Таким образом, z = (X – µ)/σ = (80 – 80)/4 = 0 .

Это говорит нам о том, что оценка обзора 80 точно соответствует среднему значению .

Почему Z-оценки полезны?

Z-оценки полезны, потому что они дают нам представление о том, как отдельное значение соотносится с остальной частью распределения.

Например, хорошо ли получить на экзамене 87 баллов? Ну, это зависит от среднего и стандартного отклонения всех результатов экзамена.

Если результаты экзаменов для всей совокупности обычно распределяются со средним значением 90 и стандартным отклонением 4, мы бы рассчитали z-показатель для 87 следующим образом:

z = (X – µ)/σ = (87 – 90)/4 = -0,75 .

Поскольку это значение отрицательное, оно говорит нам, что оценка экзамена 87 на самом деле ниже , чем средний балл экзамена для населения. В частности, результат экзамена, равный 87, на 0,75 стандартных отклонений ниже среднего .

Короче говоря, z-показатели дают нам представление о том, как отдельные значения соотносятся со средними значениями.

Как рассчитать Z-баллы на практике

В следующих руководствах показаны пошаговые примеры расчета z-показателей в различных статистических программах:

Как рассчитать Z-баллы в Excel
Как рассчитать баллы Z в R
Как рассчитать Z-оценки в Python
Как рассчитать Z-показатели в SPSS