Коэффициент асимметрии

К бенджамин андерсон 5 августа, 2023 Статистика 0 комментариев

В этой статье объясняется, что такое коэффициент асимметрии, как он рассчитывается и как его интерпретировать. В частности, вы узнаете, как рассчитать три типа коэффициентов асимметрии, наиболее часто используемых в статистике.

Что такое коэффициент асимметрии?

В статистике коэффициент асимметрии — это коэффициент, позволяющий вычислить асимметрию распределения. То есть коэффициент асимметрии используется для определения того, является ли функция асимметрией положительной, отрицательной или симметричной.

Коэффициент асимметрии также можно назвать индексом асимметрии .

Имейте в виду, что асимметрия распределения зависит от формы кривой. Таким образом, различают следующие виды асимметрии:

Положительная асимметрия : распределение имеет больше разных значений справа от среднего значения, чем слева.
Отрицательная асимметрия : распределение имеет больше разных значений слева от среднего значения, чем справа.
Симметрия : распределение имеет одинаковое количество значений слева и справа от среднего значения.

В основном в зависимости от случая используются три типа коэффициентов асимметрии: коэффициент Фишера, коэффициент Пирсона и коэффициент Боули. Как рассчитать каждый тип коэффициента асимметрии, подробно объясняется ниже.

Коэффициент асимметрии Фишера

Коэффициент асимметрии Фишера равен третьему моменту относительно среднего значения, деленному на стандартное отклонение выборки. Следовательно, формула коэффициента асимметрии Фишера имеет вид:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

Аналогично, для расчета коэффициента Фишера можно использовать любую из следующих двух формул:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

Золото

$E$

это математическое ожидание,

$\mu$

среднее арифметическое,

$\sigma$

стандартное отклонение и

$N$

общее количество данных.

С другой стороны, если данные сгруппированы, вы можете использовать следующую формулу:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

Где в этом случае

$x_i$

Это признак класса и

$f_i$

абсолютная частота курса.

После расчета его значения интерпретация коэффициента асимметрии Фишера будет следующей:

Если коэффициент асимметрии Фишера положителен, распределение асимметрично положительно.
Если коэффициент асимметрии Фишера отрицательный, распределение искажено отрицательно.
Если распределение симметрично, коэффициент асимметрии Фишера равен нулю. Обратное неверно: тот факт, что коэффициент Фишера равен нулю, не всегда означает, что распределение симметрично.

Коэффициент асимметрии Пирсона

Коэффициент асимметрии Пирсона равен разнице между средним значением выборки и модой, деленной на ее стандартное отклонение (или стандартное отклонение). Таким образом , формула для коэффициента асимметрии Пирсона выглядит следующим образом:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

Золото

$A_p$

– коэффициент Пирсона,

$\mu$

среднее арифметическое,

$Mo$

мода и

$\sigma$

стандартное отклонение.

Имейте в виду, что коэффициент асимметрии Пирсона можно рассчитать только в том случае, если это унимодальное распределение, то есть если в данных имеется только одна мода.

В некоторых статистических книгах коэффициент асимметрии Пирсона рассчитывается с использованием медианы, а не моды, но обычно используется приведенная выше формула.

После расчета коэффициента асимметрии Пирсона его значение необходимо интерпретировать по следующим правилам:

Если коэффициент асимметрии Пирсона положительный, это означает, что распределение асимметрировано положительно.
Если коэффициент асимметрии Пирсона отрицательный, это означает, что распределение искажено отрицательно.
Если коэффициент асимметрии Пирсона равен нулю, это означает, что распределение симметрично.

Коэффициент асимметрии Боули

Коэффициент асимметрии Боули равен сумме третьего квартиля плюс первый квартиль минус удвоенная медиана, деленная на разницу между третьим и первым квартилем. Таким образом, формула для этого коэффициента асимметрии выглядит следующим образом:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

Золото

$Q_1$

$Q_3$

Это соответственно первый и третий квартили и

$Me$

является медианой распределения.

Напомним, что медиана распределения совпадает со вторым квартилем.

➤ См.: как найти квартиль

Интерпретация коэффициента Боули производится так же, как и в двух предыдущих видах коэффициентов асимметрии:

Если коэффициент асимметрии Боули положителен, распределение имеет положительную асимметрию.
Если коэффициент асимметрии Боули отрицательный, распределение искажено отрицательно.
Если коэффициент асимметрии Боули равен нулю, распределение симметрично.

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше

Что такое коэффициент асимметрии?

Коэффициент асимметрии Фишера

Коэффициент асимметрии Пирсона

Коэффициент асимметрии Боули

Об авторе

бенджамин андерсон

Добавить комментарий