Математическое ожидание (или ожидаемое значение)

К бенджамин андерсон 5 августа, 2023 Вероятность 0 комментариев

В этой статье объясняется, что такое математическое ожидание (или ожидаемое значение) случайной величины и как его рассчитать. Вы найдете решенное упражнение математической надежды. Кроме того, вы можете найти ожидаемое значение любого набора данных с помощью онлайн-калькулятора.

Что такое математическое ожидание (или ожидаемое значение)?

В статистике ожидание , также называемое ожидаемым значением , — это число, которое представляет собой среднее значение случайной величины. Математическое ожидание равно сумме всех произведений, образованных значениями случайных событий и соответствующими вероятностями их наступления.

Символом ожидания является заглавная буква E, например, ожидание статистической переменной X обозначается E(X).

Аналогично, значение математического ожидания набора данных совпадает со его средним значением (средним значением совокупности).

Как вычислить математическое ожидание

Для расчета математического ожидания дискретной переменной необходимо выполнить следующие шаги:

Умножьте каждое возможное событие на вероятность его наступления.
Сложите все результаты, полученные на предыдущем шаге.
Полученное значение представляет собой математическое ожидание (или ожидаемое значение) переменной.

Таким образом, формула расчета математического ожидания (или ожидаемого значения) дискретной переменной выглядит следующим образом:

математическое ожидание или ожидаемое значение

👉 Вы можете использовать калькулятор ниже, чтобы рассчитать ожидаемое значение любого набора данных.

Обратите внимание, что приведенную выше формулу можно использовать только в том случае, если случайная величина дискретна (в большинстве случаев). Но если переменная непрерывна, мы должны использовать следующую формулу для получения математического ожидания:

$\displaystyle E(X)=\int_\mathbb{R} x\cdot f_x(x) dx$

Золото

$f_x$

— функция плотности непрерывной переменной

пример математического ожидания

Что касается определения ожидания (или ожидаемой стоимости), ниже приведен конкретный пример, чтобы вы могли увидеть, как выполняются расчеты.

Человек участвует в игре, в которой он или она может выиграть или проиграть деньги в зависимости от числа, выпадающего при броске кубика. Если выпадет 1, вы выиграете 800 долларов, если выпадет 2 или 3, вы потеряете 500 долларов, а если выпадет 4, 5 или 6, вы выиграете 100 долларов. Стоимость участия 50$. Порекомендовали бы вы принять участие в этой вероятностной игре?

Первое, что нужно сделать, это определить вероятность каждого события. Поскольку игральная кость имеет шесть граней, вероятность выпадения любого числа равна:

$p(\text{obtener un n\'umero})=\cfrac{1}{6}$

Таким образом, вероятность возникновения каждого события равна:

$p(\text{ganar }\$800)=\cfrac{1}{6}$

$p(\text{perder }\$500)=2\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{2}{6}$

$p(\text{ganar }\$100)=3\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{3}{6}$

Теперь, когда мы знаем вероятность возникновения каждого события, мы применим математическую формулу для расчета ожидания:

$\displaystyle E(X)=\sum_{i=1}^nx_i\cdot p_i$

И вычисляем математическое ожидание (или ожидаемое значение):

$E(X)=800\cdot\cfrac{1}{6}-500\cdot \cfrac{2}{6}+100\cdot\cfrac{3}{6}=\$16,67$

Ожидаемая стоимость меньше, чем цена участия в этой игре, поэтому лучше не играть, потому что в конечном итоге вы потеряете деньги. Возможно, если вы примете участие только после того, как оно достигнет 1, вы получите большую прибыль, но вероятность понести убытки в долгосрочной перспективе высока.

Следует отметить, что результат математического ожидания иногда является невозможным значением, например, в этом случае невозможно получить $16,67.

Калькулятор ожиданий

Введите набор статистических данных в следующий калькулятор, чтобы рассчитать ожидаемое значение. Вы должны указать в первом поле значение каждого события, а во втором — вероятность его появления в том же порядке.

Данные должны быть разделены пробелом и введены с использованием точки в качестве десятичного разделителя.

Свойства математического ожидания

Свойства математического ожидания следующие:

Математическое ожидание константы есть само по себе.

$E(k)=k$

Математическое ожидание случайной величины, умноженное на скаляр, равно математическому ожиданию этой переменной, умноженному на этот скаляр.

$E(k\cdot X)=k\cdot E(X)$

Математическое ожидание суммы двух переменных эквивалентно сумме математических ожиданий каждой переменной.

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

В общем, умножение двух переменных дает другое математическое ожидание. Результат будет таким же, только если переменные независимы.

$E(X\cdot Y)\neq E(X)\cdot E(Y)$

Если все значения переменной больше или равны нулю, то математическое ожидание этой переменной также положительно или равно нулю.

$X\geq 0 \ \longrightarrow \ E(X)\geq 0$

Если все значения одной переменной меньше всех значений другой переменной, ожидания двух переменных имеют одинаковую связь.

$X\leq Y \ \longrightarrow \ E(X)\leq E(Y)$

Если мы знаем, что переменная ограничена двумя значениями, ее математическое ожидание также логически ограничено.

$a <ul> <li> Si une variable est la combinaison linéaire d’une autre variable, ses attentes mathématiques satisfont à la même relation algébrique : </li> </ul> <p>[latex]Y=a+bX \ \longrightarrow \ E(Y)=a+b\cdot E(X)» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»41″ width=»1116″ style=»vertical-align: -5px;»></p> </p> <h2 class=$ Для чего используется математическое ожидание?

В этом последнем разделе мы углубимся в значение математической надежды. Конкретно мы увидим, для чего используется этот статистический показатель, и, таким образом, лучше поймем эту концепцию.

Математическое ожидание (или ожидаемая стоимость) используется для определения значения суммы, которая, как ожидается, будет получена или потеряна в долгосрочной перспективе в вероятностном пространстве. Другими словами, математическое ожидание указывает на доход, который будет получен в долгосрочной перспективе.

Когда человек рассматривает возможность инвестирования, например, покупки акций компании, одним из параметров, которые следует учитывать, является математическое ожидание. Потому что, если вы сделаете эту инвестицию несколько раз, полученная вами экономическая отдача будет равна значению математического ожидания. Ее можно рассматривать как среднюю полученную выгоду.

Аналогично, математическое ожидание также используется в других областях, таких как эконометрика, квантовая физика, торговля и даже биология.

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше