Как выполнить взвешенную регрессию наименьших квадратов в python

Одним из ключевых предположений линейной регрессии является то, что остатки распределяются с одинаковой дисперсией на каждом уровне переменной-предиктора. Это предположение известно как гомоскедастичность .

Если это предположение не соблюдается, говорят, что в остатках присутствует гетероскедастичность . Когда это происходит, результаты регрессии становятся ненадежными.

Одним из способов решения этой проблемы является использование взвешенной регрессии наименьших квадратов , которая присваивает веса наблюдениям таким образом, что наблюдения с низкой дисперсией ошибок получают больший вес, поскольку они содержат больше информации по сравнению с наблюдениями с большей дисперсией ошибок.

В этом руководстве представлен пошаговый пример выполнения регрессии взвешенных наименьших квадратов в Python.

Шаг 1. Создайте данные

Сначала давайте создадим следующий DataFrame pandas, который будет содержать информацию о количестве изученных часов и итоговой оценке за экзамен для 16 учащихся в классе:

 import pandas as pd

#createDataFrame
df = pd. DataFrame ({' hours ': [1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8],
                   ' score ': [48, 78, 72, 70, 66, 92, 93, 75, 75, 80, 95, 97,
                             90, 96, 99, 99]})

#view first five rows of DataFrame
print ( df.head ())

   hours score
0 1 48
1 1 78
2 2 72
3 2 70
4 2 66

Шаг 2. Подберите простую модель линейной регрессии.

Далее мы будем использовать функции в модуле statsmodels , чтобы подогнать простую модель линейной регрессии, используя часы в качестве предикторной переменной и оценку в качестве переменной ответа:

 import statsmodels.api as sm

#define predictor and response variables
y = df[' score ']
X = df[' hours ']

#add constant to predictor variables
X = sm. add_constant (x)

#fit linear regression model
fit = sm. OLS (y,x). fit ()

#view model summary
print ( fit.summary ())

                            OLS Regression Results                            
==================================================== ============================
Dept. Variable: R-squared score: 0.630
Model: OLS Adj. R-squared: 0.603
Method: Least Squares F-statistic: 23.80
Date: Mon, 31 Oct 2022 Prob (F-statistic): 0.000244
Time: 11:19:54 Log-Likelihood: -57.184
No. Observations: 16 AIC: 118.4
Df Residuals: 14 BIC: 119.9
Model: 1                                         
Covariance Type: non-robust                                         
==================================================== ============================
                 coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
-------------------------------------------------- ----------------------------
const 60.4669 5.128 11.791 0.000 49.468 71.465
hours 5.5005 1.127 4.879 0.000 3.082 7.919
==================================================== ============================
Omnibus: 0.041 Durbin-Watson: 1.910
Prob(Omnibus): 0.980 Jarque-Bera (JB): 0.268
Skew: -0.010 Prob(JB): 0.875
Kurtosis: 2.366 Cond. No. 10.5

Из сводки модели мы видим, что значение R-квадрата модели составляет 0,630 .

Связанный: Что такое хорошее значение R-квадрата?

Шаг 3. Подберите взвешенную модель наименьших квадратов.

Далее мы можем использовать функцию statsmodels WLS() для выполнения взвешенного метода наименьших квадратов, устанавливая веса таким образом, чтобы наблюдения с меньшей дисперсией получали больший вес:

 #define weights to use
wt = 1/smf. ols (' fit.resid.abs() ~ fit.fittedvalues ', data=df). fit (). fitted values **2

#fit weighted least squares regression model
fit_wls = sm. WLS (y, X, weights=wt). fit ()

#view summary of weighted least squares regression model
print ( fit_wls.summary ())

                            WLS Regression Results                            
==================================================== ============================
Dept. Variable: R-squared score: 0.676
Model: WLS Adj. R-squared: 0.653
Method: Least Squares F-statistic: 29.24
Date: Mon, 31 Oct 2022 Prob (F-statistic): 9.24e-05
Time: 11:20:10 Log-Likelihood: -55.074
No. Comments: 16 AIC: 114.1
Df Residuals: 14 BIC: 115.7
Model: 1                                         
Covariance Type: non-robust                                         
==================================================== ============================
                 coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
-------------------------------------------------- ----------------------------
const 63.9689 5.159 12.400 0.000 52.905 75.033
hours 4.7091 0.871 5.407 0.000 2.841 6.577
==================================================== ============================
Omnibus: 2,482 Durbin-Watson: 1,786
Prob(Omnibus): 0.289 Jarque-Bera (JB): 1.058
Skew: 0.029 Prob(JB): 0.589
Kurtosis: 1.742 Cond. No. 17.6
==================================================== ============================

Из результата мы видим, что значение R-квадрата для этой взвешенной модели наименьших квадратов увеличилось до 0,676 .

Это указывает на то, что модель взвешенных наименьших квадратов способна объяснить большую дисперсию оценок на экзамене, чем простая модель линейной регрессии.

Это говорит нам о том, что модель взвешенных наименьших квадратов обеспечивает лучшее соответствие данным по сравнению с простой моделью линейной регрессии.

Дополнительные ресурсы

В следующих руководствах объясняется, как выполнять другие распространенные задачи на Python:

Как создать остаточный график в Python
Как создать график QQ в Python
Как проверить мультиколлинеарность в Python