Как найти вероятность, учитывая среднее значение и стандартное отклонение

Мы можем использовать следующий процесс, чтобы найти вероятность того, что нормально распределенная случайная величина

Шаг 1: Найдите z-показатель.

Z-показатель показывает, на сколько стандартных отклонений отдельное значение данных отклоняется от среднего значения. Он рассчитывается следующим образом:

z-показатель = (x – µ) / σ

Золото:

• x: индивидуальное значение данных
• μ: средний показатель по численности населения
• σ: стандартное отклонение совокупности

Шаг 2: Найдите вероятность, соответствующую z-показателю.

После того, как мы вычислили z-показатель, мы можем найти соответствующую ему вероятность в таблице z.

Следующие примеры показывают, как использовать этот процесс в различных сценариях.

Пример 1: Вероятность меньше определенного значения

Оценки по определенному тесту обычно распределяются со средним значением μ = 82 и стандартным отклонением σ = 8. Какова вероятность того, что данный учащийся наберет меньше 84 баллов по тесту?

Шаг 1: Найдите z-показатель.

Сначала мы найдем z-показатель, связанный со счетом 84:

z-показатель = (x – μ) / σ = (84 – 82) / 8 = 2/8 = 0,25

Шаг 2: Используйте таблицу z, чтобы найти соответствующую вероятность.

Далее мы будем искать значение 0,25 в таблице z:

Вероятность того, что данный студент наберет меньше 84 баллов, составляет примерно 59,87% .

Пример 2: Вероятность больше определенного значения

Высота определенного вида пингвинов обычно распределяется со средним значением μ = 30 дюймов и стандартным отклонением σ = 4 дюйма. Если мы наугад выберем пингвина, какова вероятность того, что его рост будет более 28 дюймов?

Шаг 1: Найдите z-показатель.

Сначала мы найдем z-показатель, связанный с высотой 28 дюймов.

Оценка z = (x – µ) / σ = (28 – 30) / 4 = -2 / 4 = -0,5

Шаг 2: Используйте таблицу z, чтобы найти соответствующую вероятность.

Далее мы будем искать значение -0,5.   в таблице з:

Значение, соответствующее z-оценке -0,5, составляет 0,3085. Это отражает вероятность того, что пингвин будет короче 28 дюймов.

Однако, поскольку мы хотим узнать вероятность того, что рост пингвина превышает 28 дюймов, нам нужно вычесть эту вероятность из 1.

Итак, вероятность того, что пингвин выше 28 дюймов, равна: 1 – 0,3085 = 0,6915 .

Пример 3: Вероятность между двумя значениями

Вес черепах определенного вида обычно распределяется со средним значением μ = 400 фунтов и стандартным отклонением σ = 25 фунтов. Если мы наугад выберем черепаху, какова вероятность того, что она весит от 410 до 425 фунтов?

Шаг 1: Найдите z-показатели.

Сначала мы найдем z-показатели, связанные с 410 книгами и 425 книгами.

z-показатель 410 = (x – μ) / σ = (410 – 400) / 25 = 10/25 = 0,4

z-оценка 425 = (x – µ) / σ = (425 – 400) / 25 = 25 / 25 = 1

Шаг 2: Используйте таблицу z, чтобы найти соответствующую вероятность.

Сначала мы найдем значение 0,4.   в таблице з:

Далее мы будем искать значение 1   в таблице з:

Далее мы вычтем меньшее значение из большего: 0,8413 – 0,6554 = 0,1859 .

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная черепаха весит от 410 до 425 фунтов, составляет 18,59% .

Дополнительные ресурсы

Как вручную рассчитать значение P на основе показателя Z
Как преобразовать баллы Z в необработанные баллы
Как найти баллы Z в заданной области