Операции с событиями

К бенджамин андерсон 6 августа, 2023 Вероятность 0 комментариев

Здесь мы объясним, какие операции можно выполнять с событиями и как рассчитывается каждый тип операций с событиями. Дополнительно можно попрактиковаться с помощью пошаговых упражнений по работе с событиями.

Виды операций с событиями

В теории вероятностей различают три типа операций с событиями:

Объединение событий : это вероятность того, что произойдет то или иное событие.
Пересечение событий : это совместная вероятность двух или более событий.
Разница событий : это вероятность того, что одно событие произойдет, но другое событие не произойдет в одно и то же время.

Просто определяя каждый тип операции над событием, трудно понять, как выполняется каждый тип операции. Поэтому ниже мы объясним эти три операции более подробно.

объединение событий

Объединение двух событий A и B — это вероятность того, что событие A, событие B или оба события произойдут одновременно.

Символом объединения двух разных событий является буква U, поэтому объединение двух событий обозначается буквой U в середине двух букв, обозначающих события.

$A\cup B$

Вероятность объединения двух событий равна сумме вероятностей появления каждого события минус вероятность пересечения двух событий.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Например, мы рассчитаем вероятность событий «выбрасывание четного числа» или «выпадение числа больше 4» при броске игральной кости.

Есть три возможности получить четное число при броске кубика (2, 4 и 6), поэтому вероятность возникновения события равна:

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

С другой стороны, есть только два числа больше четырех (5 и 6), поэтому их вероятность равна:

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

А пересечение двух событий соответствует числам, которые появляются в обоих событиях, поэтому:

$A\cap B=\{6\}$

$P(A\cap B)=\cfrac{1}{6}=0,167$

Короче говоря, объединив события A и B, вероятность их возникновения составит:

$\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}$

пересечение событий

Пересечение двух событий А и В — это вероятность того, что события А и В произойдут одновременно.

Символ пересечения двух событий представлен перевернутой буквой U.

$A\cap B$

Вероятность пересечения двух событий равна произведению вероятностей каждого события в отдельности.

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Очевидно, что для расчета вероятности пересечения двух событий эти два события должны быть совместимы.

➤ См.: Какие события совместимы?

В качестве примера найдем вероятность того, что события «получат четное число» и «получат число больше 4» пересекутся во время броска кубика.

Как мы рассчитали выше, вероятность того, что каждое событие произойдет отдельно, равна:

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

Таким образом, вероятность пересечения двух событий будет равна произведению вероятностей каждого события:

$\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,5\cdot 0,33\\[2ex] &=0,167\end{aligned}$

разница событий

Разность двух событий А минус В соответствует всем элементарным событиям А, которых нет в В. Другими словами, в разности двух событий А минус В событие А выполняется, но событие В не может быть удовлетворено одновременно.

$A-B$

Вероятность различия между двумя событиями А и В равна вероятности появления события А минус вероятность появления элементарных событий, общих для А и В.

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$

По тому же примеру, что и в двух предыдущих видах операций, определим вероятность этого события по разнице события «получение четного числа» минус «получение числа больше 4» при броске игральной кости.

Вероятности наступления событий A, B и их пересечения следующие (подробный расчет вы можете увидеть выше):

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

$A\cap B= \{6\}$

$P(A\cap B)=\cfrac{1}{6}= 0,167$

Таким образом, вероятность появления разницы между двумя событиями равна:

$\begin{aligned}P(A-B)&=P(A)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5-0,167\\[2ex] & =0,33\end{aligned}$

Любопытно, что разница событий AB также эквивалентна пересечению события A и дополнительного (или противоположного) события B.

$A-B=A\cap\overline{B}$

➤ См.: Что такое дополнительное мероприятие?

Решенные упражнения по работе с событиями

Упражнение 1

Если бросить шестигранный кубик, какова вероятность получить нечетное число или число меньше 3?

увидеть решение

В этом упражнении мы должны вычислить вероятность того, что произойдет то или иное событие, поэтому мы должны найти вероятность объединения двух событий.

Поэтому мы сначала рассчитаем вероятность получения нечетного числа, применив закон Лапласа:

$P(\text{n\'umero impar})=\cfrac{3}{6}=0,5$

Во-вторых, определяем вероятность получения числа меньше 3:

$P(\text{n\'umero menor que 3})=\cfrac{2}{6}=0,33$

Теперь посчитаем вероятность элементарных событий, которые повторяются в событиях, которым является только число 1 (только нечетное меньше 3):

$P(\text{n\'umero impar y menor que 3})=\cfrac{1}{6}=0,167$

И, наконец, применим формулу объединения двух событий, чтобы узнать их вероятность:

$\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}$

Упражнение 2

В коробку положим 3 оранжевых шара, 2 синих шара и 5 белых шаров. Мы проводим случайный эксперимент: берем мяч, кладем его обратно в коробку, а затем вынимаем другой мяч. Какова вероятность вытащить синий шар из первого и оранжевый шар из второго?

увидеть решение

Чтобы решить эту проблему, мы должны вычислить пересечение двух событий, поскольку мы хотим, чтобы оба элементарных события были истинными.

Поэтому мы сначала рассчитаем вероятность поймать синий шар, применив правило Лапласа:

$P(\text{sacar bola azul})=\cfrac{2}{3+2+5}=0,2$

Затем находим вероятность получения оранжевого шара:

$P(\text{sacar bola naranja})=\cfrac{3}{3+2+5}=0,3$

И, наконец, вычисляем вероятность пересечения двух событий путем умножения двух найденных вероятностей:

$\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,2\cdot 0,3\\[2ex] &=0,06\end{aligned}$

Таким образом, вероятность поймать синий мяч с первой попытки и оранжевый мяч со второй попытки составляет всего 6%.

Упражнение 3

Вероятность того, что Марта сдаст экзамен, равна 1/3, а вероятность того, что Хуан сдаст тот же экзамен, равна 2/5. Какова вероятность того, что Марта добьется успеха, а Хуан потерпит неудачу?

увидеть решение

В этом упражнении нам нужно вычислить разницу между двумя событиями, поскольку мы хотим, чтобы Марта одобрила, а не Хуан. Для этого просто воспользуемся формулой такого типа операций с событиями:

$\begin{array}{l}\displaystyle A-B =A\cap\overline{B}=\\[2ex]\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot \left(1-\frac{2}{5}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}=\\[3ex] =\cfrac{3}{15} = 0,2\end{array}$

Таким образом, вероятность того, что Марта добьется успеха, а Хуан потерпит неудачу одновременно, составляет 20%.

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше

Виды операций с событиями

объединение событий

пересечение событий

разница событий

Решенные упражнения по работе с событиями

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Об авторе

бенджамин андерсон

Добавить комментарий