Главное правило

К бенджамин андерсон 5 августа, 2023 Вероятность 0 комментариев

В этой статье вы узнаете, что такое эмпирическое правило в статистике и какова его формула. Кроме того, вы сможете увидеть решенное пошаговое упражнение по практическому правилу.

Каково практическое правило?

В статистике эмпирическое правило , также называемое правилом 68-95-99,7 , представляет собой правило, которое определяет процент значений нормального распределения, попадающих в пределах трех стандартных отклонений от среднего значения.

Итак, общее правило гласит:

68% значений находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего значения.
95% значений находятся в пределах двух стандартных отклонений от среднего.
99,7% значений находятся в пределах трех стандартных отклонений от среднего.

Формула практического правила

Эмпирическое правило также можно выразить следующими формулами:

$P(\mu-1\sigma\leq X \leq \mu+1\sigma)\approx 0,6827$

$P(\mu-2\sigma\leq X \leq \mu+2\sigma)\approx 0,9545$

$P(\mu-3\sigma\leq X \leq \mu+3\sigma)\approx 0,9973$

Золото

$X$

это наблюдение случайной величины, подчиняющейся нормальному распределению,

$\mu$

является средним значением распределения и

$\sigma$

его стандартное отклонение.

➤ См.: Что такое среднее арифметическое?
➤ См.: Что такое стандартное отклонение?

Пример практического правила

Теперь, когда мы знаем определение эмпирического правила и какова его формула, давайте посмотрим на конкретном примере, как рассчитать репрезентативные значения эмпирического правила нормального распределения.

Мы знаем, что ежегодное число рождений в данной местности подчиняется нормальному распределению со средним значением 10 000 и стандартным отклонением 1 000. Вычислите характерные интервалы эмпирического правила этого нормального распределения.

$\mu=10000$

$\sigma=1000$

Как объяснялось выше, формулы для расчета интервалов по эмпирическому правилу:

$P(\mu-1\sigma\leq X \leq \mu+1\sigma)\approx 0,6827$

$P(\mu-2\sigma\leq X \leq \mu+2\sigma)\approx 0,9545$

$P(\mu-3\sigma\leq X \leq \mu+3\sigma)\approx 0,9973$

Поэтому подставляем данные упражнения в формулы:

$P(10000-1\cdot 1000\leq X \leq 10000+1\cdot 1000)\approx 0,6827$

$P(10000-2\cdot 1000\leq X \leq 10000+2\cdot 1000)\approx 0,9545$

$P(10000-3\cdot 1000\leq X \leq 10000+3\cdot 1000)\approx 0,9973$

И в результате вычислений были получены следующие результаты:

$P(9000\leq X \leq 11000)\approx 0,6827$

$P(8000\leq X \leq 12000)\approx 0,9545$

$P(7000\leq X \leq 13000)\approx 0,9973$

Таким образом, приходим к выводу, что существует вероятность 68,27%, что число рождений находится в интервале [9000,11000], вероятность 95,45%, что оно находится между [8000,12000] и, наконец, вероятность 99,73%. что это между [7000,13000].

Таблица практических значений

Помимо значений 68, 95 и 99,7, с помощью стандартного отклонения можно найти и другие значения вероятности. Ниже вы можете увидеть таблицу с вероятностями для нормального распределения:

Аккуратный	Вероятность
µ ± 0,5σ	0,382924922548026
ц ± 1σ	0,682689492137086
ц ± 1,5σ	0,866385597462284
ц ± 2σ	0,954499736103642
ц ± 2,5σ	0,987580669348448
ц ± 3σ	0,997300203936740
µ±3,5σ	0,999534741841929
ц ± 4σ	0,999936657516334
µ ± 4,5σ	0,999993204653751
ц ± 5σ	0,999999426696856
µ±5,5σ	0,999999962020875
ц ± 6σ	0,999999998026825
µ±6,5σ	0,9999999999919680
ц ± 7σ	0,9999999999997440

Все эти числовые значения в таблице взяты из кумулятивной функции вероятности нормального распределения.

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше