Как рассчитать доверительные интервалы: 3 примера задач

Доверительный интервал для среднего значения — это диапазон значений, который может содержать среднее значение генеральной совокупности с определенным уровнем достоверности.

Мы используем следующую формулу для расчета доверительного интервала для среднего значения:

Доверительный интервал = x +/- t*(s/√ n )

Золото:

• x : выборочное среднее
• t: критическое значение t
• s: выборочное стандартное отклонение
• n: размер выборки

Примечание . Мы заменяем в формуле критическое значение на критическое значение az, если известно стандартное отклонение генеральной совокупности (σ) и размер выборки превышает 30.

Следующие примеры показывают, как построить доверительный интервал для среднего значения в трех различных сценариях:

• Стандартное отклонение генеральной совокупности (σ) неизвестно.
• Стандартное отклонение генеральной совокупности (σ) известно, но n ≤ 30.
• Стандартное отклонение генеральной совокупности (σ) известно и n > 30.

Пойдем!

Пример 1: доверительный интервал, когда σ неизвестен

Предположим, мы хотим рассчитать 95% доверительный интервал для средней высоты (в дюймах) определенного вида растений.

Предположим, мы собираем простую случайную выборку со следующей информацией:

• выборочное среднее ( x ) = 12
• размер выборки (n) = 19
• стандартное отклонение выборки (s) = 6,3

Для построения этого доверительного интервала мы можем использовать следующую формулу:

• 95% ДИ = x +/- t*(s/√ n )
• 95% ДИ = 12 +/- t _{n-1, α/2} *(6,3/√ 19 )
• 95% ДИ = 12 +/- t _18,025 *(6,3/√ 19 )
• 95% ДИ = 12 +/- 2,1009*(6,3/√ 19 )
• 95% ДИ = (8964, 15037)

95% доверительный интервал для средней высоты популяции этого конкретного вида растений составляет (8,964 дюйма, 15,037 дюйма) .

Примечание № 1. Мы использовали калькулятор обратного распределения t, чтобы найти критическое значение t, соответствующее 18 степеням свободы и уровню достоверности 0,95.

Примечание № 2. Поскольку стандартное отклонение генеральной совокупности (σ) неизвестно, мы использовали критическое значение t при расчете доверительного интервала.

Пример 2: Доверительный интервал, когда σ известно, но n ≤ 30

Предположим, мы хотим вычислить доверительный интервал 99% для среднего балла определенного вступительного экзамена в колледж.

Предположим, мы собираем простую случайную выборку со следующей информацией:

• выборочное среднее ( x ) = 85
• размер выборки (n) = 25
• Стандартное отклонение генеральной совокупности (σ) = 3,5

Для построения этого доверительного интервала мы можем использовать следующую формулу:

• 99% ДИ = x +/- t*(s/√ n )
• 99% ДИ = 85 +/- t _{n-1, α/2} *(3,5/√ 25 )
• 99% ДИ = 85 +/- t _24,005 *(3,5/√ 25 )
• 99% ДИ = 85 +/- 2,7969*(3,5/√ 25 )
• 99% ДИ = (83,042, 86,958)

99% доверительный интервал для среднего балла населения на вступительном экзамене в колледж составляет (83,042, 86,958) .

Примечание № 1. Мы использовали калькулятор обратного распределения t, чтобы найти критическое значение t, связанное с 24 степенями свободы и уровнем достоверности 0,99.

Примечание № 2. Поскольку стандартное отклонение генеральной совокупности (σ) было известно, но размер выборки (n) был меньше 30, мы использовали критическое значение t при расчете доверительного интервала.

Пример 3: Доверительный интервал, когда σ известно и n > 30

Предположим, мы хотим рассчитать 90% доверительный интервал для среднего веса черепах определенного вида.

Предположим, мы собираем простую случайную выборку со следующей информацией:

• выборочное среднее ( x ) = 300
• размер выборки (n) = 40
• стандартное отклонение генеральной совокупности (σ) = 15

Для построения этого доверительного интервала мы можем использовать следующую формулу:

• 90% ДИ = x +/- z*(σ/√ n )
• 90% ДИ = 300 +/- 1,645*(15/√ 40 )
• 90% ДИ = (296 099, 303 901)

90% доверительный интервал для среднего веса популяции этого конкретного вида черепах составляет (83,042, 86,958) .

Примечание № 1. Мы использовали калькулятор критического значения Z, чтобы найти критическое значение z, соответствующее уровню значимости 0,1.

Примечание № 2. Поскольку стандартное отклонение генеральной совокупности (σ) было известно, а размер выборки (n) превышал 30, мы использовали критическое значение z при расчете доверительного интервала.

Дополнительные ресурсы

В следующих руководствах представлена дополнительная информация о доверительных интервалах:

4 примера доверительных интервалов в реальной жизни
Как написать заключение по доверительному интервалу
6 гипотез доверительного интервала, которые стоит проверить