Двухпропорциональный z-тест: определение, формула и пример

Двухпропорциональный z-тест используется для проверки разницы между двумя пропорциями населения.

В этом руководстве объясняется следующее:

• Мотивация выполнения двухпропорционального z-теста.
• Формула для выполнения двухпропорционального z-теста.
• Пример выполнения двухпропорционального z-теста.

Двухпропорциональный Z-тест: мотивация

Предположим, мы хотим знать, существует ли разница между долей жителей, поддерживающих определенный закон в округе А, и долей жителей, поддерживающих этот закон в округе Б.

Поскольку в каждом округе проживают тысячи жителей, было бы слишком много времени и денег, чтобы обследовать каждого отдельного жителя в каждом округе.

Вместо этого мы могли бы взять простую случайную выборку жителей из каждого округа и использовать долю в пользу закона в каждой выборке, чтобы оценить истинную разницу в пропорциях между двумя округами:

Однако практически гарантировано, что доля жителей, поддерживающих закон, будет хотя бы несколько отличаться в двух выборках. Вопрос в том, является ли эта разница статистически значимой . К счастью, двухпропорциональный z-тест позволяет нам ответить на этот вопрос.

Двухпропорциональный Z-тест: формула

Двухпропорциональный z-тест всегда использует следующую нулевую гипотезу:

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (две пропорции населения равны)

Альтернативная гипотеза может быть двусторонней, левой или правой:

• H ₁ (двусторонний): π ₁ ≠ π ₂ (две пропорции населения не равны)
• H ₁ (слева): π ₁ < π ₂ (доля населения 1 меньше доли населения 2)
• H ₁ (справа): π ₁ > π ₂ (доля населения 1 больше, чем доля населения 2)

Мы используем следующую формулу для расчета статистики z-теста:

z = (p ₁ -p ₂ ) / √ p(1-p)(1/n ₁ +1/n ₂ )

где p ₁ и p ₂ — доли выборки, n ₁ и n ₂ — размеры выборки, и где p — общая объединенная доля, рассчитанная следующим образом:

р = (п ₁ п ₁ + п ₂ п ₂ )/(п ₁ + п ₂ )

Если значение p, соответствующее статистике z-теста, меньше выбранного уровня значимости (обычные варианты — 0,10, 0,05 и 0,01), то вы можете отклонить нулевую гипотезу.

Z-тест с двумя пропорциями : пример

Предположим, мы хотим знать, существует ли разница между долей жителей, поддерживающих определенный закон в округе А, и долей жителей, поддерживающих этот закон в округе Б.

Чтобы проверить это, мы проведем двухпропорциональный z-тест на уровне значимости α = 0,05, выполнив следующие шаги:

Шаг 1. Соберите образцы данных.

Предположим, мы собираем случайную выборку жителей из каждого округа и получаем следующую информацию:

Образец 1:

• Размер выборки n ₁ = 50
• Доля в пользу закона p ₁ = 0,67

Образец 2:

• Размер выборки n ₂ = 50
• Доля в пользу закона р ₂ = 0,57

Шаг 2: Определите предположения.

Мы проведем двухпропорциональный z-тест со следующими гипотезами:

• H ₀ : π ₁ = π ₂ (две пропорции населения равны)
• H ₁ : π ₁ ≠ π ₂ (две пропорции населения не равны)

Шаг 3: Рассчитайте статистику z -теста.

Сначала рассчитаем общую объединенную долю:

p = (p ₁ n ₁ + p ₂ n ₂ )/(n ₁ +n ₂ ) = (0,67(50) + 0,57(50))/(50+50) = 0,62

Далее мы рассчитаем статистику z -теста:

z = (p ₁ -p ₂ ) / √ p(1-p)(1/n ₁ +1/n ₂ ) = (.67-.57) / √ .62(1-.62)(1/50 + 1/50 ) = 1,03

Шаг 4: Рассчитайте p-значение статистики z- теста.

Согласно калькулятору Z-показателя P-значения, двустороннее значение p, связанное с z = 1,03, составляет 0,30301 .

Шаг 5: Сделайте вывод.

Поскольку это значение p не ниже нашего уровня значимости α = 0,05, мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу. У нас нет достаточных доказательств, чтобы сказать, что доля жителей, поддерживающих этот закон, в двух округах разная.

Примечание. Вы также можете выполнить весь этот двухпропорциональный Z-тест, просто используя калькулятор двухпропорционального Z-теста .

Дополнительные ресурсы

В следующих руководствах объясняется, как выполнить двухпропорциональный z-тест с использованием различного статистического программного обеспечения:

Как выполнить двухпропорциональный Z-тест в Excel
Как выполнить двухпропорциональный Z-тест в SAS
Калькулятор теста на две пропорции Z