Распределение бернулли

К бенджамин андерсон 4 августа, 2023 Вероятность 0 комментариев

В этой статье объясняется, что такое распределение Бернулли и какова его формула. Кроме того, вы найдете свойства распределения Бернулли и решение упражнения, которое поможет лучше понять его смысл.

Что такое распределение Бернулли?

Распределение Бернулли , также известное как дихотомическое распределение , представляет собой распределение вероятностей, которое представляет собой дискретную переменную, которая может иметь только два результата: «успех» или «неуспех».

В распределении Бернулли «успех» — это результат, который мы ожидаем, и имеет значение 1, тогда как результат «неудача» — это результат, отличный от ожидаемого, и имеет значение 0. Итак, если вероятность результата « успех» равен p , вероятность исхода «неудача» равна q=1-p .

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

Распределение Бернулли названо в честь швейцарского статистика Якоба Бернулли.

В статистике распределение Бернулли в основном имеет одно применение: определение вероятностей экспериментов, в которых есть только два возможных результата: успех и неудача. Итак, эксперимент, в котором используется распределение Бернулли, называется тестом Бернулли или экспериментом Бернулли.

Формула распределения Бернулли

Если p — это вероятность наступления «успеха», вероятность распределения Бернулли равна p , повышенному до x , умноженному на 1-p , повышенному до 1-x . Таким образом , вероятности распределения Бернулли можно рассчитать по следующей формуле :

Обратите внимание, что в распределении Бернулли значение x может быть только 0 (неудача) или 1 (успех).

С другой стороны, предыдущую формулу можно записать и с использованием следующего эквивалентного выражения:

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.$

Пример распределения Бернулли

Теперь, когда мы знаем определение распределения Бернулли и его формулу, давайте посмотрим на конкретный пример распределения Бернулли.

Чтобы выиграть игру, игрок должен бросить кубик и получить 2, в противном случае другой игрок выиграет игру и, следовательно, игра будет проиграна. Рассчитайте вероятность успеха и неудачи.

Игральная кость имеет шесть возможных результатов (1, 2, 3, 4, 5, 6), поэтому в этом случае выборочное пространство эксперимента равно:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

В нашем случае единственным случаем успеха является получение числа два, поэтому вероятность успеха при применении правила Лапласа равна единице, деленной на общее количество возможных исходов (6):

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

С другой стороны, если при броске кубика выпадет другое число, результат эксперимента будет считаться неудачным, поскольку игрок проиграет игру. Таким образом, эта вероятность эквивалентна единице минус рассчитанная ранее вероятность:

$q=1-p=1-\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}=0,8333$

Короче говоря, распределение Бернулли в этом эксперименте определяется следующим выражением:

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}\cfrac{5}{6} & \text{si } x=0\\[4ex]\cfrac{1}{6} & \text{si } x=1\end{array}\right.$

Как вы можете видеть ниже, вероятности распределения Бернулли также можно найти, применив приведенную выше формулу:

$P[X=x]=p^x\cdot (1-p)^{1-x}$

$\displaystyle P[X=0]=\left(\frac{1}{6}\right)^0\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-0}=\cfrac{5}{6}$

$\displaystyle P[X=1]=\left(\frac{1}{6}\right)^1\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-1}=\cfrac{1}{6}$

Характеристики распределения Бернулли

Ниже приведены наиболее важные характеристики распределения Бернулли.

Распределение Бернулли может принимать только значение 1 (успех) или 0 (неудача).

$x=\{0\ ; 1\}$

Среднее значение распределения Бернулли эквивалентно вероятности наступления «успешного» исхода.

$E[X]=p$

Дисперсию распределения Бернулли можно рассчитать путем умножения вероятностей возникновения исхода «успех» и «неуспех». Или, что то же самое, дисперсия равна p , умноженному на 1-p .

$Var(X)=p\cdot q=p\cdot (1-p)$

Значение моды распределения Бернулли зависит от вероятностей «успеха» и «неудачи». Таким образом, режим этого типа распределения определяется следующим выражением:

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle Mo=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } q>p\\[2ex]0 \ ;1 & \text{si } q=p\\[2ex] 1 & \text{si } q<ul><li> The formula for the probability function of a Bernoulli distribution is as follows:</li></ul>[latex] \displaystyle P[X=x]= \left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \displaystyle
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...> The formula for the probability function
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.
leading text: \end{document}
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Emergency stop.

С другой стороны, кумулятивная функция вероятности распределения Бернулли определяется следующим выражением:

$\displaystyle P[X\leq x]=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } x<0\\[2ex]1-p& \text{si }0 \leq x<1\\[2ex]1 & \text{si } x\geq 1\end{array}\right.$

Коэффициент асимметрии распределения Бернулли рассчитывается по следующему выражению:

$A=\cfrac{q-p}{\sqrt{p\cdot q}}$

Аналогичным образом, эксцесс распределения Бернулли зависит от значения параметра p и может быть найден по следующей формуле:

$C=\cfrac{3p^2-3p+1}{p(1-p)}$

Распределение Бернулли и биномиальное распределение

В этом разделе мы увидим разницу между распределением Бернулли и биномиальным распределением, поскольку это два типа связанных вероятностных распределений.

Биномиальное распределение подсчитывает количество «успешных» результатов, полученных в ходе серии испытаний Бернулли. Эти эксперименты Бернулли должны быть независимыми, но иметь одинаковую вероятность успеха.

Таким образом, биномиальное распределение представляет собой сумму набора переменных, который следует распределению Бернулли , и все они определяются одним и тем же параметром p .

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\displaystyle \sum_{i=1}^nX_i\sim \text{Bin}(n,p)\end{array}$

Таким образом, в распределении Бернулли имеется только один эксперимент Бернулли, тогда как в биномиальном распределении имеется последовательность экспериментов Бернулли.

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше