Что такое распространение ошибок? (определение & #038; пример)
Распространение ошибки происходит, когда вы измеряете некоторые величины a , b , c ,… с неопределенностями δa , δb , δc …, а затем хотите вычислить другую величину Q, используя измерения a , b , c и т. д.
Оказывается, неопределенности δa , δb , δc будут распространяться (т.е. «растекаться») вплоть до неопределенности Q.
Для расчета неопределенности Q , обозначаемой δ Q , мы можем использовать следующие формулы.
Примечание. Для каждой из приведенных ниже формул предполагается, что величины a , b , c и т. д. содержат случайные и некоррелированные ошибки.
Сложение или вычитание
Если Q = a + b + … + c – (x + y + … + z)
Тогда δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
Пример: предположим, что вы измеряете длину человека от земли до талии: 40 дюймов ± 0,18 дюйма. Затем вы измеряете длину человека от талии до макушки, которая составляет 30 дюймов ± 0,06 дюйма.
Предположим, вы затем используете эти два измерения для расчета общего роста человека. Высота будет рассчитываться следующим образом: 40 дюймов + 30 дюймов = 70 дюймов. Неопределенность этой оценки будет рассчитываться следующим образом:
- δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
- δ Q = √ (.18) 2 + (.06) 2
- δQ = 0,1897
Это дает нам окончательное измерение 70 ± 0,1897 дюйма.
Умножение или деление
Если Q = (ab…c) / (xy…z)
Тогда δQ = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
Пример: Предположим, вы хотите измерить отношение длины элемента a к длине элемента b . Вы измеряете длину a как 20 дюймов ± 0,34 дюйма, а длину b — как 15 дюймов ± 0,21 дюйма.
Отношение, определенное как Q = a/b , будет рассчитываться как: 20/15 = 1,333 . Неопределенность этой оценки будет рассчитываться следующим образом:
- δQ = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
- δQ = |1,333| * √ (0,34/20) 2 + (0,21/15) 2
- δQ = 0,0294
Это дает нам окончательное соотношение 1,333 ± 0,0294 дюйма.
Измеренное количество, умноженное на точное число
Если A известно точно и Q = A x
Тогда δ Q = |A|δx
Пример: Предположим, вы измерили диаметр круга как 5 метров ± 0,3 метра. Затем вы используете это значение для вычисления длины окружности c = πd .
Длина окружности будет рассчитываться как c = πd = π*5 = 15,708 . Неопределенность этой оценки будет рассчитываться следующим образом:
- δQ = |A|δx
- δ Q знак равно | π | * 0,3
- δQ = 0,942
Значит длина окружности равна 15,708±0,942 метра.
Неопределенность во власти
Если n — точное число и Q = x n
Тогда δ Q = | вопрос | * | п | * (δx /x )
Пример: предположим, что вы измеряете сторону куба как s = 2 дюйма ± 0,02 дюйма. Затем вы используете это значение для расчета объема куба v = s 3 .
Объем будет рассчитываться следующим образом: v = s 3 = 2 3 = 8 дюймов 3 . Неопределенность этой оценки будет рассчитываться следующим образом:
- δ Q знак равно | вопрос | * | п | * (δx /x )
- δQ = |8| * |3| * (.02/2)
- δQ = 0,24
Значит объем куба равен 8±0,24 дюйма. 3 .
Общая формула распространения ошибок
Если Q = Q(x) является функцией x , то общую формулу распространения ошибки можно определить следующим образом:
δQ = |dQ / dX |δx
Обратите внимание, что вам редко придется выводить эти формулы с нуля, но может быть полезно знать общую формулу, используемую для их вывода.
Об авторе
бенджамин андерсон
Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше