4 реальных примера экспоненциального распределения

Экспоненциальное распределение — это распределение вероятностей, используемое для моделирования времени, в течение которого нам придется ждать, пока не произойдет определенное событие.

Если случайная величина X подчиняется экспоненциальному распределению, то кумулятивную функцию плотности X можно записать:

F (x; λ) = 1 – e ^-λx

Золото:

• λ: параметр скорости (рассчитывается как λ = 1/μ)
• e: константа, примерно равная 2,718.

В этой статье мы поделимся 5 примерами экспоненциального распределения в реальной жизни.

Пример 1: Время между извержениями гейзеров

Количество минут между извержениями определенного гейзера можно смоделировать экспоненциальным распределением.

Например, предположим, что среднее количество минут между извержениями определенного гейзера составляет 40 минут. Если произойдет извержение гейзера, какова вероятность того, что нам придется ждать следующего извержения менее 50 минут?

Чтобы решить эту задачу, нам сначала нужно рассчитать параметр скорости:

• λ = 1/µ
• λ = 1/40
• λ = 0,025

Мы можем подставить λ = 0,025 и x = 50 в формулу CDF:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• Р(Х ≤ 50) = 1 – е ^-0,025(50)
• Р(Х ≤ 50) = 0,7135

Вероятность того, что следующего извержения нам придется ждать менее 50 минут, равна 0,7135 .

Пример 2: Время между клиентами

Количество минут между входом покупателей в определенный магазин можно смоделировать с помощью экспоненциального распределения.

Например, предположим, что новый покупатель заходит в магазин в среднем каждые две минуты. После прибытия клиента определите вероятность того, что новый клиент появится менее чем через минуту.

Чтобы решить эту проблему, мы можем начать с знания того, что среднее время между клиентами составляет две минуты. Таким образом, ставку можно рассчитать следующим образом:

• λ = 1/µ
• λ = 1/2
• λ = 0,5

Мы можем подставить λ = 0,5 и x = 1 в формулу CDF:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0,5(1)
• Р(Х ≤ 1) = 0,3935

Вероятность того, что нам придется ждать прибытия следующего клиента менее минуты, равна 0,3935 .

Пример 3: Время между землетрясениями  

Время между возникновением землетрясений можно смоделировать с помощью экспоненциального распределения.

Например, предположим, что землетрясение происходит в среднем каждые 400 дней в определенном регионе. После землетрясения определите вероятность того, что до следующего землетрясения пройдет более 500 дней.

Чтобы решить эту проблему, мы начнем с того, что узнаем, что среднее время между землетрясениями составляет 400 дней. Таким образом, ставку можно рассчитать следующим образом:

• λ = 1/µ
• λ = 1/400
• λ = 0,0025

Мы можем подставить λ = 0,0025 и x = 500 в формулу CDF:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• Р(Х ≤ 1) = 1 – е ^-0,0025(500)
• Р(Х ≤ 1) = 0,7135

Вероятность того, что следующего землетрясения нам придется ждать менее 500 дней, равна 0,7135.

Таким образом, вероятность того, что нам придется ждать следующего землетрясения более 500 дней, равна 1 – 0,7135 = 0,2865 .

Пример 4: время между звонками

Время между звонками клиентов в разные компании можно смоделировать с помощью экспоненциального распределения.

Например, предположим, что банк получает новый звонок в среднем каждые 10 минут. После звонка клиента определите вероятность того, что новый клиент позвонит в течение 10–15 минут.

Чтобы решить эту проблему, мы начнем с того, что узнаем, что среднее время между вызовами составляет 10 минут. Таким образом, ставку можно рассчитать следующим образом:

• λ = 1/µ
• λ = 1/10
• λ = 0,1

Мы можем использовать следующую формулу, чтобы рассчитать вероятность того, что новый клиент позвонит в течение 10-15 минут:

• P(10 < X ≤ 15) = (1 – e ^-0,1(15) ) – (1 – e ^-0,1(10) )
• P(10 < X ≤ 15) = 0,7769 – 0,6321
• Р(10 <Х ≤ 15) = 0,1448

Вероятность того, что новый клиент позвонит в течение 10-15 минут. составляет 0,1448 .

Дополнительные ресурсы

В следующих статьях приводятся примеры того, как другие распределения вероятностей используются в реальном мире:

6 конкретных примеров нормального распределения
5 конкретных примеров биномиального распределения
5 конкретных примеров распределения Пуассона
5 конкретных примеров геометрического распределения
5 конкретных примеров равномерного распределения