Сравнение z-показателей различных распределений

Z-показатель показывает, на сколько стандартных отклонений отдельное значение данных отклоняется от среднего значения. Он рассчитывается следующим образом:

z-показатель = (x – µ) / σ

Золото:

• x: индивидуальное значение данных
• μ: средний показатель по численности населения
• σ: стандартное отклонение совокупности

Z-показатель для отдельного значения можно интерпретировать следующим образом:

• Положительный z-показатель: индивидуальное значение выше среднего.
• Отрицательный z-показатель: индивидуальное значение ниже среднего.
• Z-показатель 0: индивидуальное значение равно среднему.

Z-оценки особенно полезны, когда мы хотим сравнить относительное положение двух точек данных из двух разных распределений. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим следующий пример.

Пример: сравнение Z-показателей

Баллы на определенном экзамене в колледже обычно распределяются со средним значением μ = 80 и стандартным отклонением σ = 4. Дуэйн набирает на этом экзамене 84 балла.

Баллы на другом экзамене в колледже обычно распределяются со средним значением μ = 85 и стандартным отклонением σ = 8. Дебби получает на этом экзамене 90 баллов.

Кто добился лучших результатов на экзамене по сравнению с собственным распределением экзаменационных баллов?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем вычислить z-показатель экзаменационной оценки каждого человека:

z-показатель Дуэйна = (x – µ) / σ = (84 – 80) / 4 = 4 / 4 = 1

Z-показатель Дебби = (x – μ) / σ = (90 – 85) / 8 = 5/8 = 0,625

Дебби Хотя балл Дуэйна выше, на самом деле он выше, чем результат его конкретного экзамена.

Чтобы это понять, помогает визуализировать ситуацию. Вот балл Дуэйна по сравнению с его конкретным экзаменом:

А вот результат Дебби по итогам экзамена:

Обратите внимание, насколько ближе показатель Дебби к среднему баллу по ее населению, чем показатель Дуэйна. Хотя в целом у нее более высокий балл, ее z-показатель ниже просто потому, что средний балл на ее конкретном экзамене выше.

Этот пример иллюстрирует, почему z-показатели так полезны для сравнения значений данных из разных распределений: z-показатели учитывают средние и стандартные отклонения распределений, что позволяет нам сравнивать значения данных из разных распределений и видеть, какое из них является лучшим. выше по сравнению с их собственными дистрибутивами.

Дополнительные ресурсы

Калькулятор Z-оценки
Сравните калькулятор Z-оценки