Стандартная ошибка пропорции: формула и пример

Часто в статистике мы стремимся оценить долю особей в популяции с определенной характеристикой.

Например, мы можем захотеть оценить долю жителей определенного города, которые поддерживают новый закон.

Вместо того, чтобы спрашивать каждого жителя, поддерживают ли они закон, мы бы собрали простую случайную выборку и выяснили, сколько жителей в выборке поддерживают закон.

Затем мы рассчитаем долю выборки (p̂) следующим образом:

Пример формулы пропорции:

р = х / п

Золото:

• x: количество людей в выборке с определенной характеристикой.
• n: Общее количество людей в выборке.

Затем мы будем использовать эту выборочную долю для оценки доли населения. Например, если 47 из 300 жителей выборки поддержали новый закон, доля выборки будет рассчитана следующим образом: 47/300 = 0,157 .

Это означает, что наша лучшая оценка доли жителей в населении, поддерживающих закон, составит 0,157 .

Однако нет никакой гарантии, что эта оценка будет точно соответствовать истинной пропорции населения, поэтому мы обычно также рассчитываем стандартную ошибку пропорции .

Это рассчитывается следующим образом:

Стандартная ошибка формулы пропорции:

Стандартная ошибка = √ p̂(1-p̂) / n

Например, если p̂ = 0,157 и n = 300, мы бы вычислили стандартную ошибку пропорции следующим образом:

Стандартная ошибка пропорции = √ 0,157 (1–0,157) / 300 = 0,021.

Затем мы обычно используем эту стандартную ошибку для расчета доверительного интервала для истинной доли жителей, поддерживающих закон.

Это рассчитывается следующим образом:

Доверительный интервал для формулы доли населения:

Доверительный интервал = p̂ +/- z*√ p̂(1-p̂) / n

Глядя на эту формулу, легко увидеть, что чем больше стандартная ошибка пропорции, тем шире доверительный интервал .

Обратите внимание, что z в формуле — это значение z, которое соответствует наиболее распространенным вариантам уровня достоверности:

Например, вот как можно рассчитать 95% доверительный интервал для истинной доли жителей города, поддерживающих новый закон:

• 95% ДИ = p̂ +/- z*√ p̂(1-p̂) / n
• 95% ДИ = 0,157 +/- 1,96*√ 0,157(1-0,157)/300
• 95% ДИ = 0,157 +/- 1,96*(0,021)
• 95% ДИ = [0,10884, 0,19816]

Итак, мы бы с уверенностью 95% сказали, что истинная доля жителей города, поддерживающих новый закон, составляет от 10 884% до 19 816%.

Дополнительные ресурсы

Стандартная ошибка калькулятора пропорций
Доверительный интервал для калькулятора пропорций
Какова доля населения?