Теория вероятности

К бенджамин андерсон 1 августа, 2023 Вероятность 0 комментариев

В этой статье объясняется, что такое теория вероятностей и для чего она используется. Так вы найдете основные понятия теории вероятностей, а также свойства и законы теории вероятностей.

Что такое теория вероятностей?

Теория вероятностей — это набор правил и свойств, используемых для расчета вероятности случайного явления. Таким образом, теория вероятностей позволяет нам узнать, какой исход случайного эксперимента наиболее вероятен.

Имейте в виду, что случайное явление — это результат, который можно получить в результате эксперимента, исход которого невозможно предсказать, а зависит от случая. Таким образом, теория вероятностей представляет собой набор законов, которые позволяют нам определить вероятность возникновения случайного явления.

Например, когда мы подбрасываем монету, мы можем получить два возможных результата: орел или решка. Что ж, мы можем использовать теорию вероятностей, чтобы вычислить вероятность выпадения орла, которая в данном случае составляет 50%.

На протяжении всей истории в развитие теории вероятностей внесли свой вклад многие люди, среди которых выделяются Кардано, Лаплас, Гаусс и Колмогоров.

➤ См.: Формулы вероятности.

Основы теории вероятностей

Образец пространства

В теории вероятностей выборочное пространство — это набор всех возможных результатов случайного эксперимента.

Символом пространства выборки является заглавная греческая буква Омега (Ом), хотя ее также можно обозначать заглавной буквой Е.

Например, выборочное пространство для броска кубика:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

➤ См. «Пространство выборки».

Событие

В теории вероятностей событие (или возникновение) — это каждый возможный результат случайного эксперимента. Следовательно, вероятность события — это величина, которая указывает вероятность наступления результата.

Например, при подбрасывании монеты происходит два события: «орёл» и «решка».

Существуют различные типы событий:

Элементарное событие (или простое событие): каждый из возможных результатов эксперимента.
Составное событие: это подмножество выборочного пространства.
Определенное событие: Это результат случайного опыта, который всегда будет происходить.
Невозможное событие: Это результат случайного эксперимента, который никогда не произойдет.
Совместимые события: два события совместимы, если у них есть общее элементарное событие.
Несовместимые события: два события несовместимы, если у них нет общего элементарного события.
Независимые события: Два события независимы, если вероятность одного из них не влияет на вероятность другого.
Зависимые события: два события являются зависимыми, если вероятность возникновения одного из них изменяет вероятность возникновения другого.
Событие, противоположное другому: то событие, которое происходит, когда другое событие не происходит.

➤ См.: Типы событий.

Аксиомы вероятности

Аксиомы вероятности таковы:

Аксиома вероятности 1 : Вероятность события не может быть отрицательной.

$0\leq P(A)\leq 1$

Аксиома вероятности 2 : Вероятность определенного события равна 1.

$P(\Omega)=1$

Аксиома вероятности 3 : Вероятность набора несовместимых событий равна сумме всех вероятностей.

$A\cap B= \varnothing \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

➤ См.: Аксиомы вероятности.

Свойства вероятности

Свойства вероятности:

Вероятность одного события равна единице минус вероятность противоположного события.

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

Вероятность невозможного события всегда равна нулю.

$P(\varnothing)=0$

Если событие включено в другое событие, вероятность первого события должна быть меньше или равна вероятности второго события.

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

Вероятность объединения двух событий равна сумме вероятностей каждого события, произошедшего отдельно, минус вероятность их пересечения.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Учитывая набор несовместимых событий два на два, их совместная вероятность рассчитывается путем сложения вероятности возникновения каждого события.

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

Сумма вероятностей всех элементарных событий в выборочном пространстве равна 1.

$\Omega=\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$

$P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)=1$

➤ См.: Свойства вероятности.

Правила вероятности

правило Лапласа

Правило Лапласа — это вероятностное правило, используемое для расчета вероятности события, происходящего в выборочном пространстве.

Более конкретно, правило Лапласа гласит, что вероятность возникновения события равна числу благоприятных случаев, разделенному на общее количество возможных случаев. Таким образом, формула правила Лапласа выглядит следующим образом:

$P(A)=\cfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$

Например, если мы положим в мешок 5 зеленых шаров, 4 синих шара и 2 желтых шара, мы сможем найти вероятность случайного вытягивания зеленого шара, используя правило Лапласа:

$P(\text{bola verde})=\cfrac{5}{5+4+2}=0,45$

➤ См.:Правило Лапласа (вероятность).

правило сумм

В теории вероятностей правило сумм (или правило сложения) гласит, что сумма вероятностей двух событий равна сумме вероятностей каждого события, происходящего отдельно, минус вероятность того, что оба события произойдут одновременно. время. .

Итак, формула правила сложения выглядит следующим образом:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Посмотреть решенные пошаговые упражнения применения правила сложения можно по следующей ссылке:

➤ См.: Правило сложения (вероятность).

правило умножения

Правило умножения (или правило произведения) гласит, что совместная вероятность возникновения двух независимых событий равна произведению вероятности возникновения каждого события.

Таким образом, формула правила умножения выглядит следующим образом:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Однако формула правила умножения меняется в зависимости от того, являются ли события независимыми или зависимыми. Посмотреть, какова формула правила умножения зависимых событий и примеры применения этого правила, можно здесь:

➤ См.: Правило умножения (вероятность).

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше