Тест хи-квадрат

К бенджамин андерсон 2 августа, 2023 Статистика 0 комментариев

В этой статье объясняется, что такое критерий хи-квадрат в статистике и для чего он используется. Вы также узнаете, как выполнить тест хи-квадрат, а также пошаговое решение упражнения.

Что такое тест хи-квадрат?

Критерий хи-квадрат — это статистический тест, используемый для определения наличия статистически значимой разницы между ожидаемой частотой и наблюдаемой частотой.

Логично, что статистика теста хи-квадрат следует распределению хи-квадрат . Поэтому значение тестовой статистики необходимо сравнивать с конкретным значением распределения хи-квадрат. Ниже мы увидим, как выполняется тест хи-квадрат.

Этот тип статистического теста также известен как критерий хи-квадрат Пирсона и иногда обозначается символом распределения хи-квадрат: тест χ² .

Формула теста хи-квадрат

Статистика теста хи-квадрат равна сумме квадратов разностей между наблюдаемыми значениями и ожидаемыми значениями, разделенными на ожидаемые значения.

Итак, формула теста хи-квадрат :

$\displaystyle\chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$

Золото:

$\chi^2$

— это статистика теста хи-квадрат, которая соответствует распределению хи-квадрат с

$k-1$

степени свободы.
$k$

— размер выборки данных.
$O_i$

— наблюдаемое значение для данных i.
$E_i$

ожидаемое значение для данных i.

Нулевая гипотеза проверки гипотезы с помощью теста хи-квадрат заключается в том, что наблюдаемые значения эквивалентны ожидаемым значениям. С другой стороны, альтернативная гипотеза теста состоит в том, что одно из наблюдаемых значений отличается от ожидаемого значения.

$\begin{cases}H_0:O_i=E_i \quad \forall i\\[2ex]H_1:\exists \ O_i\neq E_i \end{cases}$

Итак, учитывая уровень значимости

$\alpha$

, вычисленную статистику теста следует сравнить с критическим значением теста, чтобы определить, следует ли отклонить нулевую гипотезу или альтернативную гипотезу:

Если статистика теста меньше критического значения
$\chi_{1-\alpha|k-1}^2$

альтернативная гипотеза отклоняется (и принимается нулевая гипотеза).
Если статистика теста превышает критическое значение
$\chi_{1-\alpha|k-1}^2$

, нулевая гипотеза отклоняется (и принимается альтернативная гипотеза).

$\begin{array}{l}\text{Si } \chi^2<\chi^2_{1-\alpha|k-1}\text{ se rechaza } H_1\\[3ex]\text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|k-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»70″ width=»243″ style=»vertical-align: 0px;»></p> </p> <h2 class=$ Пример теста хи-квадрат

После того, как мы увидели определение теста хи-квадрат и его формулу, ниже представлен пошаговый пример решения, чтобы вы могли увидеть, как выполняется этот тип статистического теста.

Владелец магазина говорит, что 50 % его продаж приходится на товар А, 35 % его продаж приходится на товар Б и 15 % его продаж приходится на товар С. Однако проданные единицы каждого товара — это те, которые ему представлены. в следующей таблице непредвиденных обстоятельств . Проанализируйте, отличаются ли теоретические данные владельца статистически от фактически собранных данных.

Продукт	Наблюдаемые продажи (O _i )
Продукт А	453
Продукт Б	268
Продукт С	79
Общий	800

Во-первых, нам нужно рассчитать значения, ожидаемые владельцем магазина. Для этого умножаем процент ожидаемых продаж каждого товара на количество достигнутых общих продаж:

$\begin{array}{c}E_A=800\cdot 0,5=400\\[2ex]E_B=800\cdot 0,35=280\\[2ex]E_A=800\cdot 0,15=120\end{array}$

Таким образом, таблица распределения частот задачи выглядит следующим образом:

Продукт	Наблюдаемые продажи (O _i )	Ожидаемые продажи (E _i )
Продукт А	453	400
Продукт Б	268	280
Продукт С	79	120
Общий	800	800

Теперь, когда мы рассчитали все значения, мы применим формулу теста хи-квадрат для расчета статистики теста:

$\begin{array}{c}\displaystyle\chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\\[6ex]\chi^2=\cfrac{(453-400)^2}{400}+\cfrac{(268-280)^2}{280}+\cfrac{(79-120)^2}{120}\\[6ex]\chi^2=7,02+0,51+14,00\\[6ex]\chi^2=21,53\end{array}$

После расчета значения статистики теста мы используем таблицу распределения хи-квадрат, чтобы найти критическое значение теста. Распределение хи-квадрат имеет

$k-1=3-1=2$

степеней свободы, поэтому, если мы выберем уровень значимости

$\alpha=0,05$

критическая ценность теста следующая:

$\begin{array}{c}\chi^2_{1-\alpha|k-1}=\ \color{orange}\bm{?}\color{black}\\[4ex]\chi^2_{0,95|2}=5,991\end{array}$

Таким образом, статистика теста (21,53) превышает критическое значение теста (5,991), поэтому нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная гипотеза. Это означает, что данные сильно различаются и поэтому владелец магазина ожидал других продаж, чем было на самом деле.

$21,53>5,991 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Se rechaza } H_0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»17″ width=»354″ style=»vertical-align: -4px;»></p> </p> <h2 class=$ Интерпретация теста хи-квадрат

Интерпретация критерия Хи-квадрат не может выполняться исключительно на основе полученных результатов теста, ее необходимо сравнивать с критическим значением теста.

Логично, что чем меньше значение рассчитанной тестовой статистики, тем более похожи наблюдаемые данные на ожидаемые. Итак, если результат теста хи-квадрат равен 0, это означает, что наблюдаемые значения и ожидаемые значения абсолютно одинаковы. С другой стороны, чем больше результат теста, тем больше наблюдаемые значения отличаются от ожидаемых.

Однако, чтобы решить, являются ли два набора данных статистически разными или равными, необходимо сравнить рассчитанное значение теста с критическим значением теста, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу или альтернативную гипотезу контраста. Если статистика теста меньше критического значения распределения, альтернативная гипотеза отклоняется. С другой стороны, если тестовая статистика превышает критическое значение распределения, нулевая гипотеза отклоняется.

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше

Что такое тест хи-квадрат?

Формула теста хи-квадрат

Об авторе

бенджамин андерсон

Добавить комментарий