Асимметрия и уплощение

К бенджамин андерсон 4 августа, 2023 Статистика 0 комментариев

В этой статье объясняется, что такое асимметрия и эксцесс в статистике. Итак, вы найдете определение этих двух понятий, как рассчитать асимметрию и эксцесс, каковы их формулы, а также онлайн-калькулятор для расчета асимметрии и эксцесса любой выборки данных.

Что такое асимметрия и эксцесс?

Асимметрия и эксцесс — это две статистические меры, используемые для описания формы распределения без необходимости построения его графика. Более конкретно, асимметрия указывает на степень симметрии (или асимметрии) распределения, а эксцесс указывает на степень концентрации распределения вокруг его среднего значения.

В статистике асимметрию и эксцесс также называют мерами формы .

👉 Вы можете использовать онлайн-калькулятор ниже, чтобы рассчитать асимметрию и эксцесс любого набора данных.

Асимметрия

В статистике асимметрия — это мера, указывающая степень симметрии (или асимметрии) распределения относительно его среднего значения. Проще говоря, асимметрия — это статистический параметр, используемый для определения степени симметрии (или асимметрии) распределения без необходимости представлять его графически.

Таким образом, асимметричное распределение — это распределение, которое имеет разное количество значений слева от среднего значения по сравнению с одним справа. С другой стороны, при симметричном распределении слева и справа от среднего имеется одинаковое количество значений.

Таким образом, мы различаем три типа асимметрии :

Положительная асимметрия : распределение имеет больше разных значений справа от среднего значения, чем слева от него.
Симметрия : распределение имеет одинаковое количество значений слева от среднего значения и справа от среднего.
Отрицательная асимметрия : распределение имеет больше разных значений слева от среднего значения, чем справа.

коэффициент асимметрии

Коэффициент асимметрии , или индекс асимметрии , — это статистический коэффициент, который помогает определить асимметрию распределения. Таким образом, вычислив коэффициент асимметрии, можно узнать, какой тип асимметрии представляет собой распределение, без необходимости представлять его графически.

Хотя существуют разные формулы для расчета коэффициента асимметрии, и мы увидим их все ниже, независимо от используемой формулы, интерпретация коэффициента асимметрии всегда производится следующим образом:

Если коэффициент асимметрии положительный, распределение асимметрично положительно .
Если коэффициент асимметрии равен нулю, распределение симметрично .
Если коэффициент асимметрии отрицательный, распределение асимметрично отрицательно .

Коэффициент асимметрии Фишера

Коэффициент асимметрии Фишера равен третьему моменту относительно среднего значения, деленному на стандартное отклонение выборки. Следовательно, формула коэффициента асимметрии Фишера имеет вид:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

Аналогично, для расчета коэффициента Фишера можно использовать любую из следующих двух формул:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

Золото

$E$

это математическое ожидание,

$\mu$

среднее арифметическое,

$\sigma$

стандартное отклонение и

$N$

общее количество данных.

С другой стороны, если данные сгруппированы, вы можете использовать следующую формулу:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

Где в этом случае

$x_i$

Это признак класса и

$f_i$

абсолютная частота курса.

Коэффициент асимметрии Пирсона

Коэффициент асимметрии Пирсона равен разнице между средним значением выборки и модой, деленной на ее стандартное отклонение (или стандартное отклонение). Таким образом , формула для коэффициента асимметрии Пирсона выглядит следующим образом:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

Золото

$A_p$

– коэффициент Пирсона,

$\mu$

среднее арифметическое,

$Mo$

мода и

$\sigma$

стандартное отклонение.

Имейте в виду, что коэффициент асимметрии Пирсона можно рассчитать только в том случае, если это унимодальное распределение, то есть если в данных присутствует только одна мода.

Коэффициент асимметрии Боули

Коэффициент асимметрии Боули равен сумме третьего квартиля плюс первый квартиль минус удвоенная медиана, деленная на разницу между третьим и первым квартилем. Таким образом, формула для этого коэффициента асимметрии выглядит следующим образом:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

Золото

$Q_1$

$Q_3$

Это соответственно первый и третий квартили и

$Me$

является медианой распределения.

Сглаживание

Куртозис , также называемый асимметрией , показывает, насколько сконцентрировано распределение вокруг своего среднего значения. Другими словами, эксцесс показывает, является ли распределение крутым или пологим. В частности, чем больше эксцесс распределения, тем оно круче (или острее).

Существует три вида лести :

Лептокуртическое : распределение очень четкое, то есть данные сильно сконцентрированы вокруг среднего значения. Точнее, лептокуртические распределения определяются как распределения, более резкие, чем нормальное распределение.
Мезокуртический : эксцесс распределения эквивалентен эксцессу нормального распределения. Поэтому его не считают ни острым, ни льстивым.
Платикуртик : распределение очень плоское, то есть концентрация вокруг среднего значения низкая. Формально платикуртические распределения определяются как распределения, которые более пологие, чем нормальное распределение.

Обратите внимание, что различные типы эксцесса определяются путем принятия эксцесса нормального распределения в качестве эталона.

коэффициент эксцесса

Формула коэффициента эксцесса выглядит следующим образом:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Формула коэффициента эксцесса для данных, сгруппированных в таблицы частот :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Наконец, формула коэффициента эксцесса для данных, сгруппированных по интервалам :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(c_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Золото:

$g_2$

– коэффициент эксцесса.
$N$

общее количество данных.
$x_i$

— это i-я точка данных в ряду.
$\mu$

– среднее арифметическое распределения.
$\sigma$

— стандартное отклонение (или типичное отклонение) распределения.
$f_i$

— абсолютная частота набора данных it.
$c_i$

– классный знак i-й группы.

Обратите внимание, что во всех формулах коэффициента эксцесса 3 вычитается, поскольку это значение эксцесса нормального распределения. Таким образом, расчет коэффициента эксцесса осуществляется с использованием эксцесса нормального распределения в качестве эталона. Именно поэтому иногда в статистике говорят, что рассчитывается чрезмерный эксцесс .

После расчета коэффициента эксцесса его необходимо интерпретировать следующим образом, чтобы определить, какой это тип эксцесса:

Если коэффициент эксцесса положителен, это означает, что распределение лептокуртическое .
Если коэффициент эксцесса равен нулю, это означает, что распределение мезокуртическое .
Если коэффициент эксцесса отрицательный, это означает, что распределение платикуртное .

Калькулятор асимметрии и эксцесса

Введите набор данных в следующий калькулятор, чтобы рассчитать его асимметрию и коэффициент эксцесса, а также определить, какой это тип распределения. Данные должны быть разделены пробелом и введены с использованием точки в качестве десятичного разделителя.

Для чего используются асимметрия и эксцесс?

Наконец, мы увидим, для чего используются асимметрия и эксцесс в статистике и как интерпретируются эти два типа статистических параметров.

Асимметрия и эксцесс используются для определения формы распределения вероятностей без необходимости представлять его графически. То есть асимметрия и эксцесс рассчитываются для определения типа распределения без необходимости его построения в виде графика, что обычно требует много времени и усилий.

Кроме того, значения асимметрии и эксцесса используются для сравнения кривой распределения с нормальным распределением. Потому что, если они подобны, это означает, что изучаемое распределение можно приблизить к нормальному распределению и, следовательно, можно применить несколько статистических теорем.

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше

Что такое асимметрия и эксцесс?

Асимметрия

коэффициент асимметрии

Коэффициент асимметрии Фишера

Коэффициент асимметрии Пирсона

Коэффициент асимметрии Боули

Сглаживание

коэффициент эксцесса

Калькулятор асимметрии и эксцесса

Для чего используются асимметрия и эксцесс?

Об авторе

бенджамин андерсон

Добавить комментарий