Как найти доверительные интервалы в r (с примерами)

Доверительный интервал — это диапазон значений, который может содержать параметр совокупности с определенным уровнем достоверности.

Он рассчитывается по следующей общей формуле:

Доверительный интервал = (точечная оценка) +/- (критическое значение)* (стандартная ошибка)

Эта формула создает интервал с нижней и верхней границей, который, вероятно, содержит параметр совокупности с некоторым уровнем достоверности:

Доверительный интервал = [нижний предел, верхний предел]

В этом руководстве объясняется, как рассчитать следующие доверительные интервалы в R:

1. Доверительный интервал для среднего значения

2. Доверительный интервал для разницы средних

3. Доверительный интервал для доли

4. Доверительный интервал для разницы в пропорциях

Пойдем!

Пример 1: Доверительный интервал для среднего значения

Мы используем следующую формулу для расчета доверительного интервала для среднего значения :

Доверительный интервал = x +/- t _{n-1, 1-α/2} *(s/√n)

Золото:

• x : выборочное среднее
• t: t-критическое значение
• s: выборочное стандартное отклонение
• n: размер выборки

Пример: Предположим, мы собрали случайную выборку черепах со следующей информацией:

• Размер выборки n = 25
• Средний вес выборки x = 300
• Выборочное стандартное отклонение s = 18,5

Следующий код показывает, как рассчитать 95% доверительный интервал для истинного среднего веса популяции черепах:

 #input sample size, sample mean, and sample standard deviation
n <- 25
xbar <- 300 
s <- 18.5

#calculate margin of error
margin <- qt(0.975,df=n-1)*s/sqrt(n)

#calculate lower and upper bounds of confidence interval
low <- xbar - margin
low

[1] 292.3636

high <- xbar + margin
high

[1] 307.6364

95% доверительный интервал для истинного среднего веса популяции черепах составляет [292,36, 307,64] .

Пример 2: Доверительный интервал для разницы средних значений

Мы используем следующую формулу для расчета доверительного интервала для разницы в средних значениях совокупности :

Доверительный интервал = ( x ₁ – x ₂ ) +/- t*√((s _p ² /n ₁ ) + (s _p ² /n ₂ ))

Золото:

• x ₁ , x ₂ : среднее значение образца 1, среднее значение образца 2
• t: t-критическое значение, основанное на уровне достоверности и (n ₁ + n ₂ -2) степенях свободы.
• s _p ² : объединенная дисперсия, рассчитанная как ((n ₁ -1)s ₁ ² + (n ₂ -1)s ₂ ² ) / (n ₁ +n ₂ -2)
• t: t-критическое значение
• n ₁ , n ₂ : размер выборки 1, размер выборки 2

Пример: Предположим, мы хотим оценить разницу в среднем весе двух разных видов черепах. Поэтому мы собираем случайную выборку из 15 черепах из каждой популяции. Вот сводные данные по каждому образцу:

Образец 1:

• х1 = ₃₁₀
• с ₁ = 18,5
• п ₁ = 15

Образец 2:

• х2 ₌ 300
• _с2 = 16,4
• _п2 = 15

Следующий код показывает, как вычислить 95% доверительный интервал для истинной разницы в средних значениях совокупности:

 #input sample size, sample mean, and sample standard deviation
n1 <- 15
xbar1 <- 310 
s1 <- 18.5

n2 <- 15
xbar2 <- 300
s2 <- 16.4

#calculate pooled variance
sp = ((n1-1)*s1^2 + (n2-1)*s2^2) / (n1+n2-2)

#calculate margin of error
margin <- qt(0.975,df=n1+n2-1)*sqrt(sp/n1 + sp/n2)

#calculate lower and upper bounds of confidence interval
low <- (xbar1-xbar2) - margin
low

[1] -3.055445

high <- (xbar1-xbar2) + margin
high

[1] 23.05544

95% доверительный интервал для истинной разницы между средними значениями генеральной совокупности составляет [-3,06, 23,06] .

Пример 3: Доверительный интервал для доли

Мы используем следующую формулу для расчета доверительного интервала для пропорции :

Доверительный интервал = p +/- z*(√ p(1-p) / n )

Золото:

• p: доля выборки
• z: выбранное значение z
• n: размер выборки

Пример: Предположим, мы хотим оценить долю жителей округа, которые поддерживают определенный закон. Мы выбираем случайную выборку из 100 жителей и спрашиваем их, какова их позиция по закону. Вот результаты:

• Размер выборки n = 100
• Доля в пользу закона p = 0,56

Следующий код показывает, как рассчитать 95% доверительный интервал для истинной доли жителей округа, которые поддерживают закон:

 #input sample size and sample proportion
n <- 100
p <- .56

#calculate margin of error
margin <- qnorm(0.975)*sqrt(p*(1-p)/n)

#calculate lower and upper bounds of confidence interval
low <- p - margin
low

[1] 0.4627099

high <- p + margin
high

[1] 0.6572901

95% доверительный интервал для истинной доли жителей округа, поддерживающих закон, составляет [0,463, 0,657] .

Пример 4: Доверительный интервал для разницы в пропорциях

Мы используем следующую формулу для расчета доверительного интервала для разницы в пропорциях :

Доверительный интервал = (p ₁ –p ₂ ) +/- z*√(p ₁ (1-p ₁ )/n ₁ + p ₂ (1-p ₂ )/n ₂ )

Золото:

• p ₁ , p ₂ : доля образца 1, доля образца 2.
• z: z-критическое значение, основанное на уровне достоверности.
• n ₁ , n ₂ : размер выборки 1, размер выборки 2

Пример: Предположим, мы хотим оценить разницу между долей жителей, поддерживающих определенный закон в округе А, и долей жителей, поддерживающих закон в округе Б. Вот сводные данные для каждой выборки:

Образец 1:

• п ₁ = 100
• p ₁ = 0,62 (т.е. 62 жителя из 100 поддерживают закон)

Образец 2:

• _п2 = 100
• p ₂ = 0,46 (т.е. 46 жителей из 100 поддерживают закон)

Следующий код показывает, как рассчитать 95% доверительный интервал для истинной разницы в доле жителей, поддерживающих закон между округами:

 #input sample sizes and sample proportions
n1 <- 100
p1 <- .62

n2 <- 100
p2 <- .46

#calculate margin of error
margin <- qnorm(0.975)*sqrt(p1*(1-p1)/n1 + p2*(1-p2)/n2)

#calculate lower and upper bounds of confidence interval
low <- (p1-p2) - margin
low

[1] 0.02364509


high <- (p1-p2) + margin
high

[1] 0.2963549

95% доверительный интервал для истинной разницы в доле жителей, поддерживающих закон между округами, составляет [0,024, 0,296] .

Дополнительные руководства по R можно найти здесь .