Введение в распределение рэлея

Распределение Рэлея — это непрерывное распределение вероятностей, используемое для моделирования случайных величин , которые могут принимать только значения, равные или большие нуля.

Он имеет следующую функцию плотности вероятности:

f(x; σ) = (x/σ ² )e ^{-x 2 /(2σ 2 )}

где σ — масштабный параметр распределения.

Свойства распределения Рэлея

Распределение Рэлея обладает следующими свойствами:

• Среднее: σ√ π/2
• Отклонение: ((4-π)/2)σ ²
• Режим: σ

Поскольку π имеет известное числовое значение, мы можем упростить свойства следующим образом:

• Среднее: 1,253σ
• Отклонение: 0,429σ ²
• Режим: σ

Визуализация распределения Рэлея

На следующем графике показана форма распределения Рэлея, поскольку оно принимает разные значения параметра масштаба:

Обратите внимание, что чем больше значение масштабного параметра σ, тем шире становится распределение.

Бонус: для тех, кому интересно, мы использовали следующий код R для создания приведенного выше графика:

 #load VGAM package
library (VGAM)

#create density plots
curve(drayleigh(x, scale = 0.5), from=0, to=10, col='green')
curve(drayleigh(x, scale = 1), from=0, to=10, col='red', add=TRUE)
curve(drayleigh(x, scale = 2), from=0, to=10, col='blue', add=TRUE)
curve(drayleigh(x, scale = 4), from=0, to=10, col='purple', add=TRUE)

#add legend
legend(6, 1, legend=c("σ=0.5", "σ=1", "σ=2", "σ=4"),
       col=c("green", "red", "blue", "purple"), lty=1, cex=1.2)

Связь с другими дистрибутивами

Распределение Рэлея имеет следующее отношение к другим распределениям вероятностей:

1. Когда параметр масштаба (σ) равен 1, распределение Рэлея равно распределению хи-квадрат с 2 степенями свободы.

2. Распределение Рэлея является частным случаем распределения Вейбулла с параметром формы k = 2.

3. Распределение Рэлея с масштабным параметром σ равно распределению Райса с параметром Райс(0, σ).

Приложения

На практике распределение Рэлея используется в различных приложениях, в том числе:

1. Распределение Рэлея используется для моделирования поведения волн в океане, включая время, необходимое волнам для достижения гребня, и максимальную высоту, которую достигают волны.

2. Распределение Рэлея используется для моделирования поведения фоновых данных при магнитно-резонансной томографии, более известной как МРТ.

3. Распределение Рэлея используется в области питания для моделирования взаимосвязи между уровнем питательных веществ и реакцией на питание у людей и животных.

Дополнительные ресурсы

Следующие руководства предоставляют дополнительную информацию о других распределениях в статистике:

Введение в нормальное распределение
Введение в биномиальное распределение
Введение в распределение Пуассона