Нормальная биномиальная аппроксимация: определение и пример

Если X — случайная величина , которая подчиняется биномиальному распределению с n испытаниями и p вероятностью успеха для данного испытания, то мы можем вычислить среднее значение (μ ) и стандартное отклонение (σ) для:

• µ = np
• σ = √ np(1-p)

Оказывается, если n достаточно велико, мы можем использовать нормальное распределение для аппроксимации вероятностей, связанных с биномиальным распределением. Это называется нормальным биномиальным приближением .

Чтобы n было «достаточно большим», оно должно соответствовать следующим критериям:

• НП ≥ 5
• п(1-р) ≥ 5

Когда оба критерия соблюдены, мы можем использовать нормальное распределение для ответа на вопросы о вероятности, связанные с биномиальным распределением.

Однако нормальное распределение представляет собой непрерывное распределение вероятностей, а биномиальное распределение представляет собой дискретное распределение вероятностей, поэтому нам необходимо применять поправку на непрерывность при расчете вероятностей.

Проще говоря, коррекция непрерывности — это название добавления или вычитания 0,5 из дискретного значения x.

Например, предположим, что мы хотим найти вероятность того, что монета упадет орлом меньше или равна 45 раз в течение 100 бросков. То есть мы хотим найти P(X ≤ 45). Чтобы использовать нормальное распределение для аппроксимации биномиального распределения, вместо этого мы должны найти P (X ≤ 45,5).

В следующей таблице показано, когда следует прибавлять или вычитать 0,5, в зависимости от типа вероятности, которую вы пытаетесь найти:

В следующем пошаговом примере показано, как использовать нормальное распределение для аппроксимации биномиального распределения.

Пример: нормальное приближение бинома

Предположим, мы хотим узнать вероятность того, что монета выпадет орлом меньше или равна 43 раза за 100 бросков.

В данной ситуации мы имеем следующие значения:

• n (количество испытаний) = 100
• X (количество успехов) = 43
• p (вероятность успеха данного испытания) = 0,50.

Чтобы рассчитать вероятность того, что монета выпадет орлом меньше или равна 43 раза, мы можем использовать следующие шаги:

Шаг 1. Убедитесь, что размер выборки достаточно велик, чтобы использовать нормальное приближение.

Прежде всего, нам необходимо проверить соответствие следующим критериям:

• НП ≥ 5
• п(1-р) ≥ 5

В этом случае мы имеем:

• НП = 100*0,5 = 50
• n(1-p) = 100*(1 – 0,5) = 100*0,5 = 50

Оба числа больше 5, поэтому мы можем смело использовать нормальное приближение.

Шаг 2: Определите поправку на непрерывность, которую следует применить.

Обратившись к таблице выше, мы видим, что при работе с вероятностью в виде X ≤ 43 следует прибавлять 0,5. Таким образом, мы найдем P(X< 43,5).

Шаг 3: Найдите среднее значение (μ) и стандартное отклонение (σ) биномиального распределения.

µ = n*p = 100*0,5 = 50

σ = √ n*p*(1-p) = √ 100*,5*(1-,5) = √ 25 = 5

Шаг 4. Найдите z-показатель, используя среднее значение и стандартное отклонение, найденные на предыдущем шаге.

z = (x – µ)/σ = (43,5 – 50)/5 = -6,5/5 = -1,3.

Шаг 5: Найдите вероятность, связанную с z-показателем.

Мы можем использовать обычный калькулятор CDF , чтобы найти, что площадь под стандартной нормальной кривой слева от -1,3 равна 0,0968 .

Таким образом, вероятность того, что монета выпадет орлом меньше или равна 43 раза за 100 бросков, равна 0,0968 .

Этот пример иллюстрирует следующее:

• У нас была ситуация, когда случайная величина имела биномиальное распределение.
• Мы хотели найти вероятность получения определенного значения этой случайной величины.
• Поскольку размер выборки (n = 100 испытаний) был достаточно большим, мы смогли использовать нормальное распределение для аппроксимации биномиального распределения.

Это полный пример того, как использовать нормальное приближение для поиска вероятностей, связанных с биномиальным распределением.