Асимметрия (статистика)

К бенджамин андерсон 5 августа, 2023 Статистика 0 комментариев

В этой статье объясняется, что означает асимметрия в статистике. Таким образом, вы найдете определение асимметрии в статистике, какие бывают виды асимметрии, как рассчитывается коэффициент асимметрии и как он интерпретируется.

Что такое асимметрия в статистике?

В статистике асимметрия — это мера, указывающая степень симметрии (или асимметрии) распределения относительно его среднего значения. Проще говоря, асимметрия — это статистический параметр, используемый для определения степени симметрии (или асимметрии) распределения без необходимости представлять его графически.

Итак, асимметричное распределение — это распределение, которое имеет разное количество значений слева от среднего значения, чем справа. С другой стороны, при симметричном распределении слева и справа от среднего имеется одинаковое количество значений.

Например, экспоненциальное распределение асимметрично, а нормальное распределение симметрично.

Виды асимметрии

В статистике различают три типа асимметрии :

Положительная асимметрия : распределение имеет больше разных значений справа от среднего значения, чем слева от него.
Симметрия : распределение имеет одинаковое количество значений слева от среднего значения и справа от среднего.
Отрицательная асимметрия : распределение имеет больше разных значений слева от среднего значения, чем справа.

Коэффициент асимметрии

Коэффициент асимметрии , или индекс асимметрии , — это статистический коэффициент, который помогает определить асимметрию распределения. Итак, рассчитав коэффициент асимметрии, можно узнать тип асимметрии распределения без необходимости его графического представления.

Хотя существуют разные формулы для расчета коэффициента асимметрии, и мы увидим их все ниже, независимо от используемой формулы, интерпретация коэффициента асимметрии всегда производится следующим образом:

Если коэффициент асимметрии положителен, распределение имеет положительную асимметрию .
Если коэффициент асимметрии равен нулю, распределение симметрично .
Если коэффициент асимметрии отрицательный, распределение асимметрично отрицательно .

Коэффициент асимметрии Фишера

Коэффициент асимметрии Фишера равен третьему моменту относительно среднего значения, деленному на стандартное отклонение выборки. Следовательно, формула коэффициента асимметрии Фишера имеет вид:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

Аналогично, для расчета коэффициента Фишера можно использовать любую из следующих двух формул:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

Золото

$E$

это математическая надежда,

$\mu$

среднее арифметическое,

$\sigma$

стандартное отклонение и

$N$

общее количество данных.

С другой стороны, если данные сгруппированы, вы можете использовать следующую формулу:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

Где в этом случае

$x_i$

Это признак класса и

$f_i$

абсолютная частота курса.

Коэффициент асимметрии Пирсона

Коэффициент асимметрии Пирсона равен разнице между средним значением выборки и модой, деленной на ее стандартное отклонение (или стандартное отклонение). Таким образом , формула для коэффициента асимметрии Пирсона выглядит следующим образом:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

Золото

$A_p$

– коэффициент Пирсона,

$\mu$

среднее арифметическое,

$Mo$

мода и

$\sigma$

стандартное отклонение.

Имейте в виду, что коэффициент асимметрии Пирсона можно рассчитать только в том случае, если это унимодальное распределение, то есть если в данных имеется только одна мода.

Некоторые авторы используют медиану вместо моды для расчета коэффициента асимметрии Пирсона, но обычно используется приведенная выше формула.

➤ См.: разница между средним значением, медианой и модой.

Коэффициент асимметрии Боули

Коэффициент асимметрии Боули равен сумме третьего квартиля плюс первый квартиль минус удвоенная медиана, деленная на разницу между третьим и первым квартилем. Таким образом, формула для этого коэффициента асимметрии выглядит следующим образом:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

Золото

$Q_1$

$Q_3$

Это соответственно первый и третий квартили и

$Me$

является медианой распределения.

Напомним, что медиана распределения совпадает со вторым квартилем.

➤ См.: Калькулятор квартилей

Для чего используется асимметрия в статистике?

Чтобы полностью понять значение асимметрии в статистике, давайте посмотрим, как рассчитывается эта характеристика распределения.

Асимметрия в основном используется для определения формы распределения вероятностей, поскольку, вычислив коэффициент асимметрии, вы можете узнать, является ли это распределение отрицательным асимметричным, положительным асимметричным или симметричным, без необходимости его графического представления.

Кроме того, асимметрия вместе с эксцессом используется для определения того, может ли набор данных приближаться к нормальному распределению. Другими словами, коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса рассчитываются для проверки того, соответствует ли ряд данных предположениям о нормальном распределении, и если да, то это оказывается очень полезным, поскольку подразумевает возможность применения многих статистических теорем.

➤ См.: льстить

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше

Что такое асимметрия в статистике?

Виды асимметрии

Коэффициент асимметрии

Коэффициент асимметрии Фишера

Коэффициент асимметрии Пирсона

Коэффициент асимметрии Боули

Для чего используется асимметрия в статистике?

Об авторе

бенджамин андерсон

Добавить комментарий