Закон полной вероятности: определение и примеры

В теории вероятностей закон полной вероятности — полезный способ найти вероятность события A , когда мы не знаем непосредственно вероятность A , но знаем, что события B ₁ , B ₂ , B ₃ … образуют разбиение. выборочного пространства S.

Этот закон определяет следующее:

Закон полной вероятности

Если B1 , B2 , B3 … образуют раздел выборочного пространства S , _то мы можем _{вычислить} вероятность события _A следующим образом:

P( А ) = ΣP( А | B _я )*P( B _я )

Самый простой способ понять этот закон — взять простой пример.

Предположим, в коробке есть два мешка, в которых находятся следующие шарики:

• Мешок 1: 7 красных шариков и 3 зеленых шарика.
• Мешок 2: 2 красных шарика и 8 зеленых шариков.

Если мы случайным образом выберем один из мешков, а затем случайным образом выберем из этого мешка шарик, какова вероятность того, что это будет зеленый шарик?

В этом примере пусть P( G ) = вероятность выбора зеленого шарика. Нас интересует именно вероятность, но мы не можем вычислить ее напрямую.

Вместо этого нам нужно использовать условную вероятность G для некоторого события B , где B _i образуют раздел выборочного пространства S. В этом примере у нас есть следующие условные вероятности:

• P(G| _B1 ) = 3/10 = 0,3
• Р(Г| _В2 ) = 8/10 = 0,8

Итак, используя закон полной вероятности, мы можем рассчитать вероятность выбора зеленого шарика следующим образом:

• P(G) = ΣP(G| _Bi )*P( _Bi )
• P(G) = P(G|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(G|B ₂ )*P(B ₂ )
• Р(Г) = (0,3)*(0,5) + (0,8)*(0,5)
• П(Г) = 0,55

Если мы случайным образом выберем один из мешков, а затем случайным образом выберем из этого мешка шарик, вероятность того, что мы выберем зеленый шарик, равна 0,55 .

Прочтите следующие два примера, чтобы закрепить свое понимание закона полной вероятности.

Пример 1: Виджеты

Компания А поставляет 80% деталей в авторемонтную мастерскую, и только 1% ее деталей оказывается бракованным. Компания Б поставляет в автомастерскую оставшиеся 20% виджетов и 3% ее виджетов оказываются бракованными.

Если покупатель случайно покупает виджет в автомастерской, какова вероятность того, что он неисправен?

Если мы положим P( D ) = вероятность того, что виджет неисправен, а P(B _i ) — вероятность того, что виджет принадлежит одной из компаний, то мы можем вычислить вероятность покупки дефектного виджета следующим образом:

• P(D) = ΣP(D| _Bi )*P( _Bi )
• P(D) = P(D|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(D|B ₂ )*P(B ₂ )
• P(D) = (0,01)*(0,80) + (0,03)*(0,20)
• Р(Д) = 0,014

Если мы случайно купим виджет в этом автомагазине, вероятность того, что он бракованный, равна 0,014 .

Пример 2: Леса

Лес А занимает 50% общей площади определенного парка, и 20% растений в этом лесу ядовиты. Лес Б занимает 30% общей площади и 40% содержащихся в нем растений ядовиты. Лес С занимает оставшиеся 20% территории и 70% встречающихся там растений ядовиты.

Если мы случайно зайдем в этот парк и поднимем с земли растение, насколько вероятно, что оно ядовито?

Если мы допустим P( P ) = вероятность того, что растение ядовито, а P(B _i ) — вероятность того, что мы вошли в один из трех лесов, то мы можем вычислить вероятность того, что случайно выбранное растение токсично, например:

• P(P) = ΣP(P| _Bi )*P( _Bi )
• P(P) = P(P|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(P|B ₂ )*P(B ₂ ) + P(P|B ₃ )*P(B ₃ )
• P(P) = (0,20)*(0,50) + (0,40)*(0,30) + (0,70)*(0,20)
• П(П) = 0,36

Если мы случайно выберем растение из земли, вероятность того, что оно токсично, равна 0,36 .

Дополнительные ресурсы

Следующие учебные пособия содержат дополнительную информацию по вероятностным темам:

Как найти среднее значение распределения вероятностей
Как найти стандартное отклонение распределения вероятностей
Калькулятор распределения вероятностей