Дискретное распределение вероятностей

К бенджамин андерсон 3 августа, 2023 Вероятность 0 комментариев

В этой статье объясняется, что такое дискретные распределения вероятностей в статистике. Итак, вы узнаете значение дискретного распределения вероятностей, примеры дискретных распределений вероятностей и какие существуют типы дискретных распределений вероятностей.

Что такое дискретное распределение вероятностей?

Дискретное распределение вероятностей — это распределение, которое определяет вероятности дискретной случайной величины . Следовательно, дискретное распределение вероятностей может принимать только конечное число значений (обычно целых чисел).

Например, биномиальное распределение, распределение Пуассона и гипергеометрическое распределение являются дискретными распределениями вероятностей.

В дискретном распределении вероятностей каждое значение дискретной переменной, которая представляет (x _i ), связано со значением вероятности (pi ₎ , которое находится в диапазоне от 0 до 1. Таким образом, сумма всех вероятностей в дискретном распределении дает результат, равный единице. .

$\begin{array}{c}P[X=x_i]=p_i \quad i=1,2,\ldots, n\\[2ex]0\leq p_i\leq 1\\[2ex]\displaystyle\sum_{i=0}^{n}p_i=1\end{array}$

Примеры дискретных распределений вероятностей

Теперь, когда мы знаем определение дискретного распределения вероятностей, мы увидим несколько примеров распределения этого типа, чтобы лучше понять эту концепцию.

Примеры дискретных распределений вероятностей:

Число 5 получается, если бросить игральную кость 30 раз.
Количество пользователей, которые заходят на веб-страницу в день.
Число студентов, сдавших экзамен, из 50 студентов.
Количество бракованных единиц в выборке из 100 изделий.
Сколько раз человек должен сдать экзамен по вождению, чтобы сдать его.

Типы дискретных распределений вероятностей

Основными типами дискретных распределений вероятностей являются:

Дискретное равномерное распределение
Распределение Бернулли
Биномиальное распределение
Раздача рыбы
Полиномиальное распределение
Геометрическое распределение
Отрицательное биномиальное распределение
Гипергеометрическое распределение

Каждый тип дискретного распределения вероятностей подробно объясняется ниже.

Дискретное равномерное распределение

Дискретное равномерное распределение — это дискретное распределение вероятностей, в котором все значения равновероятны, то есть в дискретном равномерном распределении все значения имеют одинаковую вероятность появления.

Например, бросок игральной кости можно определить с помощью дискретного равномерного распределения, поскольку все возможные исходы (1, 2, 3, 4, 5 или 6) имеют одинаковую вероятность выпадения.

В общем, дискретное равномерное распределение имеет два характерных параметра a и b , которые определяют диапазон возможных значений, которые может принимать распределение. Таким образом, когда переменная определяется дискретным равномерным распределением, она пишется Uniform(a,b) .

$X\sim \text{Uniforme}(a,b)$

Дискретное равномерное распределение можно использовать для описания случайных экспериментов, поскольку, если все результаты имеют одинаковую вероятность, это означает, что эксперимент является случайным.

➤ См.: Формула для дискретного равномерного распределения.

Распределение Бернулли

Распределение Бернулли , также известное как дихотомическое распределение , представляет собой распределение вероятностей, которое представляет собой дискретную переменную, которая может иметь только два результата: «успех» или «неуспех».

В распределении Бернулли «успех» — это результат, который мы ожидаем, и имеет значение 1, тогда как результат «неудача» — это результат, отличный от ожидаемого, и имеет значение 0. Итак, если вероятность результата « успех» равен p , вероятность исхода «неудача» равна q=1-p .

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

Распределение Бернулли названо в честь швейцарского статистика Якоба Бернулли.

В статистике распределение Бернулли в основном имеет одно применение: определение вероятностей экспериментов, в которых есть только два возможных результата: успех и неудача. Итак, эксперимент, в котором используется распределение Бернулли, называется тестом Бернулли или экспериментом Бернулли.

➤ См.: Формула распределения Бернулли.

Биномиальное распределение

Биномиальное распределение , также называемое биномиальным распределением , представляет собой распределение вероятностей, которое подсчитывает количество успехов при выполнении серии независимых дихотомических экспериментов с постоянной вероятностью успеха. Другими словами, биномиальное распределение — это распределение, которое описывает количество успешных результатов последовательности испытаний Бернулли.

Например, количество раз, когда монета выпадет орлом 25 раз, является биномиальным распределением.

В общем, общее количество проведенных экспериментов определяется параметром n , а p — вероятность успеха каждого эксперимента. Таким образом, случайная величина, имеющая биномиальное распределение, записывается следующим образом:

$X\sim\text{Bin}(n,p)$

Обратите внимание, что при биномиальном распределении один и тот же эксперимент повторяется n раз, и эксперименты независимы друг от друга, поэтому вероятность успеха каждого эксперимента одинакова (p) .

➤ См.: Формула биномиального распределения.

Раздача рыбы

Распределение Пуассона — это распределение вероятностей, которое определяет вероятность того, что заданное количество событий произойдет за определенный период времени. Другими словами, распределение Пуассона используется для моделирования случайных величин, которые описывают количество повторений явления за определенный интервал времени.

Например, количество звонков, принимаемых телефонной станцией в минуту, представляет собой дискретную случайную величину, которую можно определить с помощью распределения Пуассона.

Распределение Пуассона имеет характерный параметр, представленный греческой буквой λ и указывающий, сколько раз ожидаемое событие произойдет в течение заданного интервала.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

➤ См.: Формула распределения рыбы.

Полиномиальное распределение

Полиномиальное распределение (или полиномиальное распределение ) — это распределение вероятностей, которое описывает вероятность того, что несколько взаимоисключающих событий произойдут заданное количество раз после нескольких испытаний.

То есть, если случайный эксперимент может привести к трем или более исключительным событиям и известна вероятность того, что каждое событие произойдет отдельно, полиномиальное распределение используется для расчета вероятности того, что при выполнении нескольких экспериментов произойдет определенное количество событий. время каждый раз.

Таким образом, полиномиальное распределение является обобщением биномиального распределения.

➤ См.: Формула полиномиального распределения.

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение — это распределение вероятностей, определяющее количество испытаний Бернулли, необходимое для получения первого успешного результата. То есть геометрическое распределение моделирует процессы, в которых эксперименты Бернулли повторяются до тех пор, пока один из них не получит положительный результат.

Например, количество автомобилей, проезжающих по дороге до тех пор, пока они не увидят желтую машину, является геометрическим распределением.

Помните, что тест Бернулли — это эксперимент, имеющий два возможных результата: «успех» и «неуспех». Таким образом, если вероятность «успеха» равна p , вероятность «неудачи» равна q=1-p .

Таким образом, геометрическое распределение зависит от параметра p , который представляет собой вероятность успеха всех проведенных экспериментов. Более того, вероятность p одинакова для всех экспериментов.

$X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

➤ См.: Формула геометрического распределения.

Отрицательное биномиальное распределение

Отрицательное биномиальное распределение — это распределение вероятностей, которое описывает количество испытаний Бернулли, необходимых для получения заданного количества положительных результатов.

Следовательно, отрицательное биномиальное распределение имеет два характерных параметра: r — количество желаемых успешных результатов и p — вероятность успеха для каждого проведенного эксперимента Бернулли.

$X\sim \text{BN}(r,p)$

Таким образом, отрицательное биномиальное распределение определяет процесс, в котором выполняется столько испытаний Бернулли, сколько необходимо для получения положительных результатов . Более того, все эти испытания Бернулли независимы и имеют постоянную вероятность успеха .

Например, случайная величина, имеющая отрицательное биномиальное распределение, — это количество раз, которое необходимо бросить игральную кость, пока число 6 не будет брошено три раза.

➤ См.: Формула отрицательного биномиального распределения.

Гипергеометрическое распределение

Гипергеометрическое распределение — это распределение вероятностей, которое описывает количество успешных случаев случайного извлечения без замены n элементов из популяции.

То есть гипергеометрическое распределение используется для расчета вероятности получения x успехов при извлечении n элементов из популяции без замены ни одного из них.

Следовательно, гипергеометрическое распределение имеет три параметра:

N : количество элементов в популяции (N = 0, 1, 2,…).
K : максимальное количество случаев успеха (K = 0, 1, 2,…,N). Поскольку в гипергеометрическом распределении элемент можно считать только «успехом» или «неудачей», NK — это максимальное количество случаев отказа.
n : количество выполняемых выборок без замены.

$X \sim HG(N,K,n)$

➤ См.: Формула гипергеометрического распределения.

Дискретное и непрерывное распределение вероятностей

Наконец, мы увидим разницу между дискретным распределением вероятностей и непрерывным распределением вероятностей, поскольку важно знать, как различать эти два типа распределений.

Разница между дискретным распределением и непрерывным распределением заключается в количестве значений, которые они могут принимать. Непрерывное распределение может принимать любое значение, с другой стороны, дискретное распределение не принимает никаких значений, а может принимать только конечное число значений.

Один из способов отличить непрерывные распределения от дискретных — определить, какой тип чисел они могут содержать. Обычно непрерывное распределение может принимать любое значение, включая десятичные числа, тогда как дискретное распределение может принимать только целые числа. Имейте в виду, что этот совет работает не во всех случаях, но в подавляющем большинстве случаев.

➤ См.: Что такое непрерывное распределение вероятностей?

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше