Доверительный интервал для дисперсии

К бенджамин андерсон 3 августа, 2023 Статистика 0 комментариев

В этой статье объясняется, что такое доверительный интервал дисперсии и для чего он используется в статистике. Кроме того, вы узнаете, как рассчитать доверительный интервал дисперсии и выполните пошаговое упражнение.

Каков доверительный интервал дисперсии?

Доверительный интервал дисперсии — это интервал, который аппроксимирует значения, между которыми находится дисперсия генеральной совокупности. То есть доверительный интервал для дисперсии указывает максимальное значение и минимальное значение дисперсии генеральной совокупности для уровня достоверности.

Например, если 95% доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности равен (55,75), это означает, что дисперсия генеральной совокупности будет находиться в диапазоне от 55 до 75 с вероятностью 95%.

Поэтому доверительный интервал дисперсии используется для оценки двух значений, между которыми находится дисперсия генеральной совокупности. Выборочную дисперсию можно рассчитать, но генеральная дисперсия обычно неизвестна, поэтому доверительный интервал дисперсии позволяет нам приблизительно оценить ее значение.

Формула доверительного интервала для дисперсии

Для расчета доверительного интервала дисперсии совокупности используется распределение хи-квадрат . Более конкретно, формула для расчета доверительного интервала дисперсии :

$\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)$

Золото:

$n$

это размер выборки.
$s$

— выборочное стандартное отклонение.
$\chi_{n-1;\alpha/2}$

— значение распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы для вероятности меньше α/2.
$\chi_{n-1;1-\alpha/2}$

— это значение распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы для вероятности, большей 1-α/2.

Пример расчета доверительного интервала дисперсии

Чтобы вы могли лучше понять концепцию, в этом разделе мы оставляем вам решенный пример того, как рассчитывается доверительный интервал для дисперсии.

У нас есть выборка из 8 наблюдений со значениями, показанными ниже. Каков доверительный интервал для генеральной дисперсии с уровнем достоверности 1-α=95%?

206 203 201 212
194 176 208 201

Как объяснялось выше, формула для определения доверительного интервала генеральной дисперсии выглядит следующим образом:

$\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)$

Следовательно, чтобы найти доверительный интервал, мы должны сначала рассчитать стандартное отклонение выборки:

$s=11,13$

➤ См.: Как рассчитать стандартное отклонение.

Во-вторых, мы смотрим на таблицу распределения хи-квадрат, чтобы увидеть, какие соответствующие ей значения нам нужны:

$\begin{array}{c}\chi_{n-1;\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[2ex]\chi_{_{7;0,025}}=16,013\end{array}$

$\begin{array}{c}\chi_{n-1;1-\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[2ex]\chi_{_{7;0,975}}=1,690\end{array}$

➤ См.: Значения таблицы распределения хи-квадрат.

Итак, мы подставляем значения в формулу доверительного интервала для дисперсии и выполняем расчет:

$\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)$

$\displaystyle \left( (8-1)\frac{11,13^2}{16,013} \ , \ (8-1)\frac{11,13^2}{1,690}\right)$

$\displaystyle \left( 54,15 \ , \ 513,10\right)$

В заключение отметим, что дисперсия исследуемой популяции составляет от 54,15 до 513,10 с уровнем достоверности 95%.

➤ См.: Доверительный интервал для среднего значения.

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше

Каков доверительный интервал дисперсии?

Формула доверительного интервала для дисперсии

Пример расчета доверительного интервала дисперсии

Об авторе

бенджамин андерсон

Добавить комментарий