Введение в гипергеометрическое распределение

Гипергеометрическое распределение описывает вероятность выбора k объектов с определенной характеристикой из n рисунков без замены из конечной популяции размера N , содержащей K объектов с этой характеристикой.

Если случайная величина X подчиняется гипергеометрическому распределению, то вероятность выбора k объектов с определенной характеристикой можно найти по следующей формуле:

P(X=k) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n

Золото:

• N: численность населения
• K: количество объектов в популяции с определенной характеристикой.
• n: размер выборки
• k: количество объектов в выборке с определенной функциональностью
• _K C _k : количество комбинаций из K вещей, взятых k одновременно.

Например, в стандартной колоде из 52 карт 4 дамы. Предположим, мы случайным образом выбираем карту из колоды, а затем, без замены, случайным образом выбираем из колоды другую карту. Какова вероятность того, что обе карты окажутся дамами?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем использовать гипергеометрическое распределение со следующими параметрами:

• N: размер популяции = 52 карты
• K: количество объектов в популяции с определенной характеристикой = 4 королевы.
• n: размер выборки = 2 розыгрыша
• k: количество объектов в выборке с определенной характеристикой = 2 ферзя.

Подставляя эти числа в формулу, мы находим, что вероятность равна:

P(X=2) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n = ₄ C ₂ ( _52-4 C _2-2 ) / ₅₂ C ₂ = 6*1/ 1326 = 0,00452 .

Это должно иметь смысл интуитивно. Если вы представляете, как вытягиваете две карты из колоды одну за другой, вероятность того, что обе карты окажутся дамами, должна быть очень низкой.

Свойства гипергеометрического распределения

Гипергеометрическое распределение обладает следующими свойствами:

Среднее значение распределения равно (nK) / N.

Дисперсия распределения равна (nK)(NK)(Nn)/(N ² (n-1))

Практические задачи гипергеометрического распределения

Используйте следующие практические задачи, чтобы проверить свои знания о гипергеометрическом распределении.

Примечание. Для расчета ответов на эти вопросы мы воспользуемся калькулятором гипергеометрического распределения .

Проблема 1

Вопрос: Предположим, мы случайным образом выбираем из колоды четыре карты, не заменяя их. Какова вероятность того, что две карты окажутся дамами?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем использовать гипергеометрическое распределение со следующими параметрами:

• N: размер популяции = 52 карты
• K: количество объектов в популяции с определенной характеристикой = 4 королевы.
• n: размер выборки = 4 розыгрыша
• k: количество объектов в выборке с определенной характеристикой = 2 ферзя.

Подставив эти числа в калькулятор гипергеометрического распределения, мы находим, что вероятность равна 0,025 .

Проблема 2

Вопрос: В урне 3 красных и 5 зеленых шаров. Вы случайным образом выбираете 4 шара. Какова вероятность того, что вы выберете ровно 2 красных шара?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем использовать гипергеометрическое распределение со следующими параметрами:

• N: размер популяции = 8 шаров
• К: количество объектов в популяции с определенной характеристикой = 3 красных шара.
• n: размер выборки = 4 розыгрыша
• k: количество объектов в выборке с определенной характеристикой = 2 красных шара.

Подставив эти числа в калькулятор гипергеометрического распределения, мы находим, что вероятность равна 0,42857 .

Проблема 3

Вопрос: В корзине 7 фиолетовых и 3 розовых шарика. Вы случайным образом выбираете 6 шариков. Какова вероятность того, что вы выберете ровно 3 розовых шарика?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем использовать гипергеометрическое распределение со следующими параметрами:

• N: размер населения = 10 шариков
• K: количество объектов в популяции с определенной характеристикой = 3 розовых шара.
• n: размер выборки = 6 розыгрышей
• k: количество объектов в выборке с определенной характеристикой = 3 розовых шарика.

Подставив эти числа в калькулятор гипергеометрического распределения, мы находим, что вероятность равна 0,16667 .