Корреляционная матрица

К бенджамин андерсон 5 августа, 2023 Статистика 0 комментариев

В этой статье вы узнаете, что такое корреляционная матрица, какова ее формула и как ее интерпретировать. Дополнительно вы сможете увидеть конкретный пример интерпретации корреляционной матрицы.

Что такое корреляционная матрица?

Матрица корреляции — это матрица, которая содержит в позиции i,j коэффициент корреляции между переменными i и j .

Следовательно, матрица корреляции представляет собой квадратную матрицу, заполненную единицами на главной диагонали, а элемент строки i и столбца j состоит из значения коэффициента корреляции между переменной i и переменной j .

Таким образом , формула корреляционной матрицы выглядит следующим образом:

Золото

$r_{ij}$

– коэффициент корреляции между переменными

$i$

$j.$

Итак, чтобы найти матрицу корреляции набора данных, важно знать, как рассчитывается коэффициент корреляции. Если вы не помните, по следующей ссылке вы узнаете, как это сделать с помощью онлайн-калькулятора:

➤ См.: Калькулятор коэффициента корреляции

Свойством коэффициента корреляции является то, что порядок переменных не имеет значения для его расчета, то есть коэффициент корреляции

$r_{ij}$

эквивалентно

$r_{ji}.$

Следовательно, корреляционная матрица симметрична.

$\displaystyle R=\begin{pmatrix}1&r_{12}&r_{13}&\dots&r_{1n}\\[1.1ex] r_{12}&1&r_{23}&\dots&r_{2n}\\[1.1ex] r_{13}&r_{23}&1&\dots&r_{3n}\\[1.1ex] \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\[1.1ex] r_{1n}&r_{2n}&r_{3n}&\dots&1\end{pmatrix}$

Чтобы матрица корреляции имела смысл, набор статистических данных должен содержать более двух переменных. В противном случае было бы достаточно определить один коэффициент корреляции, и матрица корреляции имела бы смысл.

Как составить корреляционную матрицу

Учитывая определение корреляционной матрицы, давайте посмотрим, как создается этот тип статистической матрицы:

Рассчитайте коэффициент корреляции каждой пары переменных. Обратите внимание, что порядок переменных не меняет результат, поэтому его нужно вычислять только один раз для каждой пары переменных.
Создайте квадратную матрицу той же размерности, что и количество переменных в ряду данных. Эта матрица будет корреляционной матрицей.
Поставьте 1 в каждый элемент главной диагонали корреляционной матрицы.
Поместите коэффициент корреляции переменных i , j в позиции i , j и j , i .
После того как корреляционная матрица создана, остается только интерпретировать ее значения.

Имейте в виду, что просто запустить корреляционную матрицу недостаточно, нужно потом интерпретировать ее значения и понять, что они означают. В следующем разделе объясняется, как интерпретировать корреляционную матрицу.

Интерпретация корреляционной матрицы

Для правильной интерпретации корреляционной матрицы необходимо учитывать, что значение коэффициента корреляции может находиться в пределах от -1 до +1:

r=-1 : две переменные имеют идеальную отрицательную корреляцию, поэтому мы можем нарисовать линию с отрицательным наклоном, в которой все точки соединяются.
-1<r<0 : корреляция между двумя переменными отрицательна, поэтому, когда одна переменная увеличивается, другая уменьшается. Чем ближе значение к -1, тем более отрицательно связаны переменные.
r=0 : корреляция между двумя переменными очень слабая, фактически линейная связь между ними равна нулю. Это не означает, что переменные независимы, поскольку они могут иметь нелинейную связь.
0<r<1 : корреляция между двумя переменными положительна, чем ближе значение к +1, тем сильнее связь между переменными. В этом случае одна переменная имеет тенденцию увеличивать свое значение, когда увеличивается и другая.
r=1 : две переменные имеют идеальную положительную корреляцию, то есть имеют положительную линейную связь.

Таким образом, для интерпретации корреляционной матрицы необходимо интерпретировать каждый коэффициент корреляции и сравнить разные результаты.

Таким образом вы сможете увидеть, какие переменные больше всего связаны друг с другом, какие переменные наиболее важны, какие переменные практически не связаны друг с другом и т. д.

Пример корреляционной матрицы

Чтобы полностью понять, из чего состоит корреляционная матрица и как она интерпретируется, в этом разделе мы разберем пример корреляционной матрицы:

Интерпретация корреляционной матрицы основана на значениях коэффициентов. Таким образом, мы видим, что самой сильной корреляцией является связь между переменной A и переменной B, поскольку соответствующий ей коэффициент является наибольшим (0,87).

С другой стороны, переменная С практически не имеет корреляции ни с одной переменной, поскольку все ее коэффициенты очень близки к нулю и поэтому очень малы. Таким образом, чтобы упростить анализ, мы могли бы даже рассмотреть возможность исключения этой переменной из статистического исследования.

Аналогично, все связи переменной D с другими переменными отрицательны, а это означает, что корреляция между переменной D и другими переменными обратная. Это не означает, что переменную следует исключить, просто переменная D имеет отрицательную корреляцию.

Как видите, матрица корреляции очень полезна для обобщения данных и проведения общего анализа взаимосвязей между различными переменными в наборе данных.

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше