Z-тест

К бенджамин андерсон 3 августа, 2023 Статистика 0 комментариев

В этой статье объясняется, что такое Z-тест в статистике и для чего он используется. Таким образом, вы узнаете, как проводить Z-тест, различные формулы Z-теста и, наконец, разницу между Z-тестом и другими статистическими тестами.

Что такое Z-тест?

В статистике Z-тест — это проверка гипотезы, используемая, когда статистика теста соответствует нормальному распределению. Статистика, полученная с помощью Z-теста, называется Z-статистикой или Z-значением.

Формула Z-теста всегда одинакова, точнее, статистика Z-теста равна разнице между рассчитанным значением выборки и предлагаемым значением совокупности, деленной на стандартное отклонение параметра совокупности.

$Z=\cfrac{\widehat{X}-X}{\sigma_{_X}}$

Z-тест используется для отклонения или принятия нулевой гипотезы тестов гипотез, в которых статистика теста соответствует нормальному распределению.

Например, Z-тест используется для проверки гипотезы о среднем значении, когда известна дисперсия генеральной совокупности, чтобы отвергнуть или принять гипотезу о значении среднего значения генеральной совокупности.

➤ См.: Что такое проверка гипотез?

Виды Z-тестов

В зависимости от параметра, по которому выполняется проверка гипотезы, можно выделить различные типы Z-тестов:

Z-тест на среднее значение.
Z-тест на пропорцию.
Z-тест на разницу средних значений.
Z-тест на разницу в пропорциях.

Ниже вы можете увидеть формулу для каждого типа Z-теста.

Z-тест для среднего значения

Формула Z-теста для среднего значения :

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Золото:

$Z$

— это статистика Z-теста для среднего значения.
$\overline{x}$

это образец означает.
$\mu$

— предложенное среднее значение.
$\sigma$

— стандартное отклонение генеральной совокупности.
$n$

это размер выборки.

После того, как статистика проверки гипотезы для среднего рассчитана, результат следует интерпретировать как отклонение или отклонение нулевой гипотезы:

Если проверка гипотезы о среднем является двусторонней, нулевая гипотеза отклоняется, если абсолютное значение статистики превышает критическое значение Z _α/2 .
Если проверка гипотезы для среднего значения соответствует правому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика превышает критическое значение Z _α .
Если проверка гипотезы для среднего значения соответствует левому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика меньше критического значения -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Критические значения Z-теста получаются из стандартной таблицы нормального распределения.

➤ См.: Проверка гипотезы для среднего значения.

Z-тест на пропорцию

Формула Z-теста для определения пропорции :

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

Золото:

$Z$

— это статистика Z-теста для пропорции.
$\widehat{p}$

– это доля выборки.
$p$

– значение предложенной пропорции.
$n$

это размер выборки.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

– стандартное отклонение пропорции.

Имейте в виду, что недостаточно вычислить статистику Z-теста для пропорции, необходимо затем интерпретировать полученный результат:

Если проверка гипотезы для доли является двусторонней, нулевая гипотеза отклоняется, если абсолютное значение статистики превышает критическое значение Z _α/2 .
Если проверка гипотезы для доли соответствует правому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика превышает критическое значение Z _α .
Если проверка гипотезы для доли соответствует левому хвосту, нулевая гипотеза отклоняется, если статистика меньше критического значения -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

➤ См.: Проверка гипотезы на пропорцию

Z-тест на разницу средних значений

Формула для расчета статистики Z-теста для разницы средних значений:

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

Золото:

$Z$

— это статистика Z-теста для разницы двух средних значений с известной дисперсией, которая соответствует стандартному нормальному распределению.
$\mu_1$

является средним значением численности населения 1.
$\mu_2$

является средним значением численности населения 2.
$\overline{x_1}$

является средним значением образца 1.
$\overline{x_2}$

является средним значением образца 2.
$\sigma_1$

— стандартное отклонение генеральной совокупности 1.
$\sigma_2$

— стандартное отклонение генеральной совокупности 2.
$n_1$

размер выборки 1.
$n_2$

размер выборки 2.

➤ См.: Проверка гипотез на предмет разницы средних значений.

Z-тест на разницу в пропорциях

Формула для расчета статистики Z-теста для разницы в пропорциях двух популяций:

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle \sqrt{p_0(1-p_0)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}$

Золото:

$Z$

— это статистика Z-теста для разницы в пропорциях.
$p_1$

это доля населения 1.
$p_2$

это доля населения 2.
$\widehat{p_1}$

– доля образца 1.
$\widehat{p_2}$

это выборочная доля 2.
$n_1$

размер выборки 1.
$n_2$

размер выборки 2.
$p_0$

представляет собой объединенную долю двух выборок.

Объединенная доля двух образцов рассчитывается следующим образом:

$p_0=\cfrac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$

Золото

$x_i$

— количество результатов в выборке iy

$n_i$

размер выборки i.

➤ См.: Проверка гипотез на разницу в пропорциях.

Как сделать Z-тест

Теперь, когда мы увидели различные формулы Z-теста, давайте посмотрим, как выполнить Z-тест.

Шаги для выполнения Z-теста следующие.

Определите нулевую гипотезу и альтернативную гипотезу проверки гипотез.
Определите уровень значимости альфа (α) проверки гипотезы.
Убедитесь, что требования для использования Z-теста соблюдены.
Примените соответствующую формулу Z-теста и рассчитайте статистику теста.
Интерпретируйте результат теста Z, сравнив его с критическим значением теста.

Z-тест и t-тест

Наконец, мы увидим, в чем разница между Z-тестом и t-тестом, поскольку они, безусловно, являются двумя типами проверки гипотез, наиболее часто используемыми в статистике.

T-критерий , также называемый t-критерием Стьюдента , представляет собой тест гипотезы, используемый, когда изучаемая совокупность подчиняется нормальному распределению, но размер выборки слишком мал, чтобы узнать дисперсию совокупности.

Следовательно, основное различие между использованием Z-теста и t-теста заключается в том, известна ли дисперсия или нет. Когда популяционная дисперсия известна, используется Z-критерий, а когда популяционная дисперсия неизвестна, используется t-критерий.

➤ См.: t тест (статистика)

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше

Что такое Z-тест?

Виды Z-тестов

Z-тест для среднего значения

Z-тест на пропорцию

Z-тест на разницу средних значений

Z-тест на разницу в пропорциях

Как сделать Z-тест

Z-тест и t-тест

Об авторе

бенджамин андерсон

Добавить комментарий