Понимание формы биномиального распределения

Биномиальное распределение описывает вероятность получения k успехов в n биномиальных экспериментах.

Если случайная величина X имеет биномиальное распределение, то вероятность того, что X = k успеха, можно найти по следующей формуле:

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Золото:

• n: количество испытаний
• k: количество успехов
• p: вероятность успеха в данном испытании
• _n C _k : количество способов добиться k успехов в n испытаниях.

Биномиальное распределение вероятностей имеет тенденцию иметь колоколообразную форму, когда возникает одно или несколько из следующих двух условий:

1. Размер выборки (n) велик.

2. Вероятность успеха данного испытания (p) близка к 0,5.

Однако биномиальное распределение вероятностей имеет тенденцию к искажению, когда ни одно из этих условий не возникает. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим следующие примеры:

Пример 1. Размер выборки (n) большой.

На следующем графике показано распределение вероятностей при n = 200 и p = 0,5 .

По оси X отображается количество успехов в более чем 200 испытаниях, а по оси Y отображается вероятность того, что такое количество успехов произойдет.

Поскольку (1) размер выборки велик и (2) вероятность успеха данного испытания близка к 0,5, распределение вероятностей имеет колоколообразную форму.

Даже если вероятность успеха данного испытания (p) не близка к 0,5, распределение вероятностей будет оставаться колоколообразным, пока размер выборки (n) велик. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим следующие два сценария, когда p = 0,2 и p = 0,8.

Обратите внимание, что в обоих сценариях распределение вероятностей имеет колоколообразную форму.

Пример 2: вероятность успеха (p) близка к 0,5.

На следующем графике показано распределение вероятностей при n = 10 и p = 0,4 .

Хотя размер выборки (n = 10) невелик, распределение вероятностей остается колоколообразным, поскольку вероятность успеха данного испытания (p = 0,4) близка к 0,5.

Пример 3: асимметричные биномиальные распределения

Если ни (1) размер выборки не велик, ни (2) вероятность успеха данного испытания близка к 0,5, биномиальное распределение вероятностей будет искажено влево или вправо.

Например, на следующем графике показано распределение вероятностей при n = 20 и p = 0,1 .

Обратите внимание, как распределение смещено вправо.

А на следующем графике показано распределение вероятностей при n = 20 и p = 0,9 .

Обратите внимание, как распределение смещено влево.

Сноски

Каждый из графиков в этой статье был создан с использованием языка статистического программирования R. Узнайте, как построить собственное биномиальное распределение вероятностей в R, используя это руководство .