Биномиальное распределение и геометрическое распределение: сходства и различия

В статистике обычно используются два распределения: биномиальное и геометрическое .

В этом руководстве представлено краткое объяснение каждого дистрибутива, а также сходств и различий между ними.

Биномиальное распределение

Биномиальное распределение описывает вероятность получения k успехов в n биномиальных экспериментах .

Если случайная величина X имеет биномиальное распределение, то вероятность того, что X = k успеха, можно найти по следующей формуле:

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Золото:

• n: количество испытаний
• k: количество успехов
• p: вероятность успеха в данном испытании
• _n C _k : количество способов добиться k успехов в n испытаниях.

Например, предположим, что мы подбрасываем монету 3 раза. Мы можем использовать приведенную выше формулу, чтобы определить вероятность выпадения 0 орлов во время этих трех бросков:

P(X=0) = ₃ C ₀ * 0,5 ⁰ * (1-0,5) ^3-0 = 1 * 1 * (0,5) ³ = 0,125

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение описывает вероятность возникновения определенного количества неудач до первого успеха в серии биномиальных экспериментов.

Если случайная величина X подчиняется геометрическому распределению, то вероятность возникновения k неудач до первого успеха можно найти по следующей формуле:

P(X=k) = (1-p) ^kp

Золото:

• k: количество неудач до первого успеха
• p: вероятность успеха в каждом испытании

Например, предположим, что мы хотим знать, сколько раз нам придется подбросить честную монету, пока не выпадет орел. Мы можем использовать приведенную выше формулу, чтобы определить вероятность трех «промахов» до того, как монета наконец упадет орлом:

Р(Х=3) = (1-0,5) ³ (0,5) = 0,0625

Сходства и различия

Биномиальные и геометрические распределения имеют следующие общие черты :

• Результат экспериментов в обоих распределениях можно классифицировать как «успех» или «неуспех».
• Вероятность успеха одинакова для каждого испытания.
• Каждый тест независим.

Дистрибутивы имеют следующие ключевые различия :

• В биномиальном распределении существует фиксированное количество попыток (т. е. подбросьте монету 3 раза).
• В геометрическом распределении нас интересует количество попыток, необходимых для достижения успеха (т. е. сколько разворотов нам придется сделать, прежде чем мы увидим решку?).

Практические вопросы: когда использовать каждый дистрибутив

В каждой из следующих практических задач определите, подчиняется ли случайная величина биномиальному или геометрическому распределению.

Проблема 1: бросить кости

Джессика играет в игру на удачу, в которой она продолжает бросать кубик, пока на нем не выпадет число 4. Пусть X — количество бросков, пока не выпадет 4. Какому типу распределения соответствует случайная величина X ?

Ответ : тестирование.

Проблема 2: Выполнение штрафных бросков

Тайлер выполняет 80% всех штрафных бросков, которые он выполняет. Предположим, он делает 10 штрафных бросков. Пусть X — количество попаданий Тайлера в корзину за 10 попыток. Какому типу распределения соответствует случайная величина X ?

Ответ :

Дополнительные ресурсы

Калькулятор биномиального распределения
Калькулятор геометрического распределения