Биномиальные эксперименты: объяснение + примеры

Понимание биномиальных экспериментов является первым шагом к пониманию биномиального распределения .

В этом руководстве дается определение биномиального эксперимента и приводится несколько примеров экспериментов, которые считаются или не считаются биномиальными экспериментами.

Биномиальный эксперимент: определение

Биномиальный эксперимент — это эксперимент, который обладает следующими четырьмя свойствами:

1. Эксперимент состоит из n повторных попыток. Число n может быть любым. Например, если мы подбросим монету 100 раз, то n = 100.

2. Каждое испытание имеет только два возможных результата. Мы часто называем результаты «успехом» или «неудачей», но «успех» — это всего лишь ярлык того, на что мы рассчитываем. Например, когда мы подбрасываем монету, мы можем назвать орёл «попаданием», а решку — «провалом».

3. Вероятность успеха, обозначаемая p , одинакова для каждого испытания. Чтобы эксперимент был настоящим биномиальным экспериментом, вероятность «успеха» должна быть одинаковой для каждого испытания. Например, когда мы подбрасываем монету, вероятность выпадения орла («успеха») всегда одинакова каждый раз, когда мы подбрасываем монету.

4. Каждый тест независим . Это просто означает, что результат одного испытания не влияет на результат другого испытания. Например, предположим, что мы подбрасываем монету, и выпадает орел. Тот факт, что он упадет орлом, не меняет вероятность того, что он упадет орлом при следующем броске. Каждый бросок (т.е. каждое «испытание») независим.

Примеры биномиальных экспериментов

Все следующие эксперименты являются примерами биномиальных экспериментов.

Пример 1

Подбросьте монетку 10 раз. Запишите, сколько раз выпала решка.

Это биномиальный эксперимент, поскольку он обладает следующими четырьмя свойствами:

• Эксперимент состоит из n повторных попыток. В данном случае будет 10 попыток.
• Каждое испытание имеет только два возможных результата. Монета может упасть только орлом или решкой.
• Вероятность успеха одинакова для каждого испытания . Если мы определим «успех» как приземление на голову, то вероятность успеха равна ровно 0,5 для каждого испытания.
• Каждый тест независим . Результат одного розыгрыша не влияет на результат любого другого розыгрыша.

Пример №2

Бросьте правильный шестигранный кубик 20 раз. Запишите, сколько раз появится цифра 2.

Это биномиальный эксперимент, поскольку он обладает следующими четырьмя свойствами:

• Эксперимент состоит из n повторных попыток. В данном случае имеется 20 испытаний.
• Каждое испытание имеет только два возможных результата. Если мы определим 2 как «успех», то каждый раз на кубике выпадет либо 2 (успех), либо другое число (неудача).
• Вероятность успеха одинакова для каждого испытания . Для каждого испытания вероятность того, что на кубике выпадет 2, равна 1/6. Эта вероятность не меняется от одного испытания к другому.
• Каждый тест независим . Результат броска кубика не влияет на результат других бросков кубика.

Пример №3

Тайлер выполняет 70% штрафных бросков. Предположим, он делает 15 попыток. Запишите количество корзин, которые он забросил.

Это биномиальный эксперимент, поскольку он обладает следующими четырьмя свойствами:

• Эксперимент состоит из n повторных попыток. В данном случае имеется 15 испытаний.
• Каждое испытание имеет только два возможных результата. При каждой попытке Тайлер либо попадает в корзину, либо промахивается.
• Вероятность успеха одинакова для каждого испытания . Для каждой попытки вероятность того, что Тайлер попадет в корзину, составляет 70%. Эта вероятность не меняется от одного испытания к другому.
• Каждый тест независим . Результат попытки штрафного броска не влияет на результат любой другой попытки штрафного броска.

Примеры, не являющиеся биномиальными экспериментами

Пример 1

Спросите 100 человек, сколько им лет .

Это не биномиальный эксперимент, поскольку существует более двух возможных результатов.

Пример №2

Бросайте справедливый шестигранный кубик, пока не выпадет цифра 5.

Это не биномиальный эксперимент, поскольку не существует заранее определенного количества n испытаний. Мы понятия не имеем, сколько бросков потребуется, прежде чем выпадет 5.

Пример №3

Вытяните 5 карт из колоды карт.

Это не биномиальный эксперимент, поскольку результат одного испытания (например, вытягивание определенной карты из колоды) влияет на результат последующих испытаний.

Пример и решение биномиального эксперимента

В следующем примере показано, как решить вопрос, касающийся биномиального эксперимента.

Вы подбрасываете монету 10 раз. Какова вероятность того, что на монете выпадет ровно 7 орлов?

Всякий раз, когда мы хотим найти вероятность n успехов в биномиальном эксперименте, нам нужно использовать следующую формулу:

P(ровно k успехов) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Золото:

• n: количество попыток
• k: количество успехов
• C: символ «комбинации».
• p: вероятность успеха в данном испытании

Подставив эти числа в формулу, получим:

P(7 голов) = ₁₀ C ₇ * 0,5 ⁷ * (1-0,5) ^10-7 = (120) * (0,0078125) * (0,125) = 0,11719 .

Итак, вероятность того, что монета выпадет орлом 7 раз, равна 0,11719 .