Как найти вероятность «хотя бы два» успех

Мы можем использовать следующую общую формулу, чтобы найти вероятность как минимум двух успехов в серии испытаний:

 P(at least two successes) = 1 - P(zero successes) - P(one success)

В приведенной выше формуле мы можем вычислить каждую вероятность, используя следующую формулу биномиального распределения :

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Золото:

• n: количество испытаний
• k: количество успехов
• p: вероятность успеха в данном испытании
• _n C _k : количество способов добиться k успехов в n испытаниях.

Следующие примеры показывают, как использовать эту формулу, чтобы найти вероятность «по крайней мере двух» успехов в различных сценариях.

Пример 1: Попытки штрафных бросков

Тай выполняет 25% попыток штрафных бросков. Если он выполнит пять штрафных бросков, найдите вероятность того, что он выполнит хотя бы два.

Сначала вычислим вероятность того, что он выполнит ровно ноль штрафных бросков или ровно один штрафной бросок:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,25 ⁰ * (1-0,25) ^5-0 = 1 * 1 * 0,75 ⁵ = 0,2373

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,25 ¹ * (1-0,25) ^5-1 = 5 * 0,25 * 0,75 ⁴ = 0,3955

Далее, давайте подставим эти значения в следующую формулу, чтобы найти вероятность того, что Тай выполнит хотя бы два штрафных броска:

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• Р(Х≥2) = 1 – 0,2372 – 0,3955
• Р(Х≥2) = 0,3673

Вероятность того, что Тай выполнит хотя бы два штрафных броска за пять попыток, равна 0,3673 .

Пример 2: Виджеты

На данном заводе 2% всех виджетов бракованы. В случайной выборке из 10 виджетов определите вероятность того, что хотя бы два из них неисправны.

Сначала посчитаем вероятность того, что ровно ноль или ровно единица неисправна:

P(X=0) = ₁₀ C ₀ * 0,02 ⁰ * (1-0,02) ^10-0 = 1 * 1 * 0,98 ¹⁰ = 0,8171

P(X=1) = ₁₀ C ₁ * 0,02 ¹ * (1-0,02) ^10-1 = 10 * 0,02 * 0,98 ⁹ = 0,1667

Далее подставим эти значения в следующую формулу, чтобы найти вероятность того, что хотя бы два виджета неисправны:

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• Р(Х≥2) = 1 – 0,8171 – 0,1667
• Р(Х≥2) = 0,0162

Вероятность того, что в этой случайной выборке из 10 хотя бы два виджета неисправны, равна 0,0162 .

Пример 3: Простые вопросы

Боб правильно отвечает на 60% простых вопросов. Если мы зададим ему 5 простых вопросов, найдите вероятность того, что он ответит правильно хотя бы на два.

Сначала посчитаем вероятность того, что он ответит ровно ноль или ровно единицу:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,60 ⁰ * (1-0,60) ^5-0 = 1 * 1 * 0,40 ⁵ = 0,01024

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,60 ¹ * (1-0,60) ^5-1 = 5 * 0,60 * 0,40 ⁴ = 0,0768

Далее давайте подставим эти значения в следующую формулу, чтобы найти вероятность того, что он правильно ответит хотя бы на два вопроса:

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• Р(Х≥2) = 1 – 0,01024 – 0,0768
• Р(Х≥2) = 0,91296

Вероятность того, что он ответит правильно хотя бы на два вопроса из пяти, равна 0,91296 .

Бонус: Калькулятор вероятности «минимум два»

Используйте этот калькулятор, чтобы автоматически найти вероятность «по крайней мере двух» успехов, основываясь на вероятности успеха в данном испытании и общем количестве испытаний.