Как найти вероятность «минимум три» успех

Мы можем использовать следующую общую формулу, чтобы найти вероятность как минимум трех успехов в серии испытаний:

 P(at least 3) = 1 - P(0 successes) - P(1 success) - P(2 successes)

В приведенной выше формуле мы можем вычислить каждую вероятность, используя следующую формулу биномиального распределения :

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Золото:

• n: количество испытаний
• k: количество успехов
• p: вероятность успеха в данном испытании
• _n C _k : количество способов добиться k успехов в n испытаниях.

Следующие примеры показывают, как использовать эту формулу, чтобы найти вероятность «по крайней мере трех» успехов в различных сценариях.

Пример 1: Попытки штрафных бросков

Тай выполняет 25% попыток штрафных бросков. Если он выполнит пять штрафных бросков, найдите вероятность того, что он выполнит хотя бы три.

Сначала вычислим вероятность того, что он выполнит ровно ноль, ровно один или ровно два штрафных броска:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,25 ⁰ * (1-0,25) ^5-0 = 1 * 1 * 0,75 ⁵ = 0,2373

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,25 ¹ * (1-0,25) ^5-1 = 5 * 0,25 * 0,75 ⁴ = 0,3955

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0,25 ² * (1-0,25) ^5-2 = 10 * 0,0625 * 0,75 ³ = 0,2636

Далее давайте подставим эти значения в следующую формулу, чтобы найти вероятность того, что Тай выполнит хотя бы три штрафных броска:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• Р(Х≥3) = 1 – 0,2373 – 0,3955 – 0,2636
• Р(Х≥3) = 0,1036

Вероятность того, что Тай выполнит хотя бы три штрафных броска за пять попыток, равна 0,1036 .

Пример 2: Виджеты

На данном заводе 2% всех виджетов бракованы. В случайной выборке из 10 виджетов определите вероятность того, что хотя бы два из них неисправны.

Сначала посчитаем вероятность того, что ровно ноль, ровно один или ровно два бракованы:

P(X=0) = ₁₀ C ₀ * 0,02 ⁰ * (1-0,02) ^10-0 = 1 * 1 * 0,98 ¹⁰ = 0,8171

P(X=1) = ₁₀ C ₁ * 0,02 ¹ * (1-0,02) ^10-1 = 10 * 0,02 * 0,98 ⁹ = 0,1667

P(X=2) = ₁₀ C ₂ * 0,02 ² * (1-0,02) ^10-2 = 45 * 0,0004 * 0,98 ⁸ = 0,0153

Далее подставим эти значения в следующую формулу, чтобы найти вероятность того, что хотя бы три виджета неисправны:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• Р(Х≥3) = 1 – 0,8171 – 0,1667 – 0,0153
• Р(Х≥3) = 0,0009

Вероятность того, что в этой случайной выборке из 10 хотя бы три виджета неисправны, равна 0,0009 .

Пример 3: Простые вопросы

Боб правильно отвечает на 60% простых вопросов. Если мы зададим ему 5 простых вопросов, найдите вероятность того, что он ответит правильно хотя бы на три.

Сначала посчитаем вероятность того, что он ответит правильно ровно ноль, ровно один или ровно два:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,60 ⁰ * (1-0,60) ^5-0 = 1 * 1 * 0,40 ⁵ = 0,01024

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,60 ¹ * (1-0,60) ^5-1 = 5 * 0,60 * 0,40 ⁴ = 0,0768

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0,60 ² * (1-0,60) ^5-2 = 10 * 0,36 * 0,40 ³ = 0,2304

Далее давайте подставим эти значения в следующую формулу, чтобы найти вероятность того, что он правильно ответит хотя бы на три вопроса:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• Р(Х≥3) = 1 – 0,01024 – 0,0768 – 0,2304
• Р(Х≥3) = 0,6826

Вероятность того, что он ответит правильно хотя бы на три вопроса из пяти, равна 0,6826 .

Бонус: Калькулятор вероятности минимум трех

Используйте этот калькулятор, чтобы автоматически найти вероятность «по крайней мере трех» успехов, основываясь на вероятности успеха в данном испытании и общем количестве испытаний.