Как найти вероятность хотя бы одного? успех

Вероятность говорит нам, насколько вероятно, что событие произойдет.

Например, предположим, что 4% всех учеников определенной школы предпочитают математику своим любимым предметом. Если мы выберем студента наугад, вероятность того, что он или она отдаст предпочтение математике, составит 4%.

Но нас часто интересуют вероятности, связанные с несколькими испытаниями. Например, если мы случайным образом выберем трех студентов, какова вероятность того, что хотя бы один из них отдаст предпочтение математике?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем использовать следующие шаги:

1. Найти вероятность того, что ученик не отдает предпочтение математике.

Мы знаем, что вероятность того, что ученик предпочитает математику, равна P (предпочитает математику) = 0,04.

Таким образом, вероятность того, что студент не предпочитает математику, равна P(не предпочитает математику) = 0,96.

2. Найти вероятность того, что все выбранные учащиеся не отдают предпочтение математике.

Поскольку вероятность того, что каждый ученик предпочитает математику, не зависит друг от друга, мы можем просто перемножить отдельные вероятности:

P(не все ученики предпочитают математику) = 0,96*0,96*0,96 = 0,8847.

Это отражает вероятность того, что трое учеников не предпочитают математику в качестве своего любимого предмета.

3. Найдите вероятность того, что хотя бы один ученик отдает предпочтение математике.

Наконец, вероятность того, что хотя бы один ученик отдаст предпочтение математике, рассчитывается следующим образом:

P(по крайней мере один предпочитает математику) = 1 – P(не все предпочитают математику) = 1 – 0,8847 = 0,1153 .

Оказывается, мы можем использовать следующую общую формулу, чтобы найти вероятность хотя бы одного успеха в серии испытаний:

 P(at least one success) = 1 - P(failure in one trial) n

В приведенной выше формуле n представляет общее количество испытаний.

Например, мы могли бы использовать эту формулу, чтобы найти вероятность того, что хотя бы один ученик из случайной выборки из трех человек предпочитает математику в качестве своего любимого предмета:

P (хотя бы один ученик предпочитает математику) = 1 – (0,96) ³ = 0,1153 .

Это соответствует ответу, который мы получили с помощью трехэтапного процесса, описанного выше.

Используйте следующие примеры в качестве дополнительной практики, чтобы определить вероятность «хотя бы одного» успеха.

Связанный: Как найти вероятность «по крайней мере двух» успехов

Пример 1: Попытки штрафных бросков

Майк выполняет 20% штрафных бросков. Если он выполнит 5 штрафных бросков, найдите вероятность того, что он выполнит хотя бы один.

Решение:

• P(делает хотя бы одну попытку) = 1 – P(пропускает данную попытку) ⁿ
• P(делает хотя бы один) = 1 – (0,80) ⁵
• P(делает хотя бы один) = 0,672

Вероятность того, что Майк выполнит хотя бы один штрафной бросок из каждых пяти попыток, равна 0,672 .

Пример 2: Виджеты

На данном заводе 2% всех виджетов бракованы. В случайной выборке из 10 виджетов определите вероятность того, что хотя бы один неисправен.

Решение:

• P (хотя бы один бракованный) = 1 – P (данный виджет не бракованный) ⁿ
• P(хотя бы один бракованный) = 1 – (0,98) ¹⁰
• P(хотя бы один дефектный) = 0,183

Вероятность того, что хотя бы один виджет неисправен в случайной выборке из 10 штук, равна 0,183 .

Пример 3: Простые вопросы

Боб правильно отвечает на 75% простых вопросов. Если мы зададим ему 3 тривиальных вопроса, найдите вероятность того, что хотя бы на один он ответит неправильно.

Решение:

• P(хотя бы один неправильный) = 1 – P(данный ответ правильный) ⁿ
• P (хотя бы один неправильный) = 1 – (0,75) ³
• P (хотя бы один неправильный) = 0,578

Вероятность того, что он ответит хотя бы на один вопрос неправильно, равна 0,578 .

Бонус: калькулятор вероятности «хотя бы одного»

Используйте этот калькулятор, чтобы автоматически найти вероятность «хотя бы одного» успеха, основываясь на вероятности успеха в данном испытании и общем количестве испытаний.