Выборочное распределение разницы в пропорциях

К бенджамин андерсон 3 августа, 2023 Статистика 0 комментариев

В этой статье объясняется, в чем разница в распределении пропорциональной выборки и для чего она используется в статистике. Также представлены разница в формуле распределения выборки по пропорциям и пошаговое решение упражнения.

Каково выборочное распределение разницы в пропорциях?

Разница в распределении выборки по пропорциям — это распределение, которое получается в результате расчета различий между долями выборки всех возможных выборок из двух разных совокупностей.

То есть процесс получения выборочного распределения разницы в пропорциях заключается, во-первых, в извлечении всех возможных выборок из двух разных популяций, во-вторых, в определении доли каждой извлеченной выборки и, наконец, в определении разницы между всеми пропорции разницы пропорций. две популяции. Так что совокупность результатов, полученных после выполнения этих операций, образует выборочное распределение разницы пропорций.

выборочное распределение разницы в пропорциях

В статистике разница в выборочном распределении пропорций используется для расчета вероятности того, что разница между долями выборки двух случайно выбранных выборок близка к разнице долей генеральной совокупности.

➤ См.: Пропорциональное распределение выборки.

Формула выборочного распределения разности пропорций

Выборки, отобранные по разнице в пропорциях выборочного распределения, определяются биномиальными распределениями , поскольку для практических целей пропорция представляет собой отношение успешных случаев к общему числу наблюдений.

Тем не менее, благодаря центральной предельной теореме, биномиальные распределения можно аппроксимировать к нормальным распределениям вероятностей . Следовательно, выборочное распределение разницы в пропорциях можно приблизить к нормальному распределению со следующими характеристиками:

$\begin{array}{c}\displaystyle\mu_{\widehat{p_1}-\widehat{p_2}}=p_1-p_2 \qquad \sigma_{\widehat{p_1}-\widehat{p_2}}=\sqrt{\frac{p_1q_1}{n_1}+\frac{p_2q_2}{n_2}}\\[6ex]\displaystyle N_{p}\left(p_1-p_2, \sqrt{\frac{p_1q_1}{n_1}+\frac{p_2q_2}{n_2}}\right) \end{array}$

Примечание. Выборочное распределение разницы в пропорциях можно приблизить к нормальному распределению только в том случае, если

$n_1\geq30$

$n_2\geq 30$

$n_1p_1\geq5$

$n_2p_2\geq5$

$n_1q_1\geq5$

$n_2q_2\geq5$

Следовательно, поскольку выборочное распределение разницы долей можно приблизить к нормальному распределению, то формула расчета статистики выборочного распределения разницы долей имеет следующий вид:

$Z=\cfrac{(\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle\sqrt{\frac{p_1q_1}{n_1}+\frac{p_2q_2}{n_2}}}$

Золото:

$\widehat{p_i}$

– это выборочная доля i.
$p_i$

это доля населения i.
$q_i$

— вероятность отказа популяции i,

$q_i=1-p_i$

.
$n_i$

размер выборки i.
$Z$

— переменная, определяемая стандартным нормальным распределением N(0,1).

Эта формула аналогична формуле проверки гипотезы для разницы в пропорциях.

Конкретный пример выборочного распределения разницы долей

Увидев определение разницы в пропорциях выборочного распределения и какова его формула, вы можете шаг за шагом увидеть ниже решенный пример, чтобы завершить понимание концепции.

Вы хотите проанализировать точность двух производственных предприятий: один завод производит так, что только 5% выпускаемых деталей имеют дефекты, а на другом заводе процент бракованных деталей составляет 8%. Если мы возьмем образец из 200 деталей с первого завода и еще один образец из 280 деталей со второго завода, какова вероятность того, что процент брака на первом заводе больше, чем процент брака на втором заводе? производство?

Чтобы закончить знание всех данных задачи, сначала посчитаем долю хорошо продуцируемых частей каждого растения:

$\begin{array}{c}q_1=1-p_1=1-0,05=0,95\\[2ex]q_2=1-p_2=1-0,08=0,92\end{array}$

Если уровень брака на первом заводе был больше, чем уровень брака на втором заводе, это означает, что следующее уравнение будет верным:

$\widehat{p_1}-\widehat{p_2}>0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»18″ width=»89″ style=»vertical-align: -4px;»> Итак, чтобы определить вероятность выборочного распределения разницы в пропорциях, нам нужно применить формулу, объясненную в разделе выше: <p class=$ $Z=\cfrac{(\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle\sqrt{\frac{p_1q_1}{n_1}+\frac{p_2q_2}{n_2}}}=\cfrac{0-(0,05-0,08)}{\displaystyle\sqrt{\frac{0,05\cdot 0,95}{200}+\frac{0,08\cdot 0,92}{280}}}=1,34$

Таким образом, вероятность того, что уровень дефектов первой фабрики превышает уровень дефектов второй фабрики, эквивалентна вероятности того, что переменная Z больше 1,34:

$P[(\widehat{p_1}-\widehat{p_2})>0]=P[Z>1,34]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»19″ width=»242″ style=»vertical-align: -5px;»> Наконец, нам просто нужно поискать соответствующую вероятность в <a href=$ таблице нормального распределения и мы уже решим задачу:

$P[(\widehat{p_1}-\widehat{p_2})>0]=P[Z>1,34]=0,0901″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»19″ width=»319″ style=»vertical-align: -5px;»> Короче говоря, вероятность того, что доля дефектов на первом заводе больше, чем доля дефектов на втором заводе, составляет 9,01%. <div style=$ ➤ См.: Выборочное распределение разницы средних значений.

Об авторе

бенджамин андерсон

Здравствуйте, я Бенджамин, профессор статистики на пенсии, ставший преданным преподавателем Statorials. Имея обширный опыт и знания в области статистики, я хочу поделиться своими знаниями, чтобы расширить возможности студентов с помощью Statorials. Узнать больше

Каково выборочное распределение разницы в пропорциях?

Формула выборочного распределения разности пропорций

Конкретный пример выборочного распределения разницы долей

Об авторе

бенджамин андерсон

Добавить комментарий