Как рассчитать степени свободы для любого т-теста

В статистике обычно используются три t-теста:

Одновыборочный t-критерий : используется для сравнения среднего значения генеральной совокупности с определенным значением.

Двухвыборочный t-критерий : используется для сравнения двух средних значений генеральной совокупности.

T-критерий для парных выборок : используется для сравнения средних значений двух совокупностей, когда каждое наблюдение в одной выборке может быть связано с наблюдением в другой выборке.

При выполнении каждого t-теста вам необходимо будет рассчитать статистику теста и соответствующие степени свободы .

Вот как можно рассчитать степени свободы для каждого типа испытаний:

Одновыборочный t-критерий: df = n-1, где n — общее количество наблюдений.

Двухвыборочный t-критерий: df = n ₁ + n ₂ – 2, где n ₁ , n ₂ — общее количество наблюдений для каждой выборки.

T-критерий парных выборок: n-1, где n — общее количество пар.

Следующие примеры показывают, как на практике рассчитать степени свободы для каждого типа t-критерия.

Пример 1: Степени свободы для одновыборочного t-критерия

Предположим, мы хотим знать, равен ли средний вес черепах определенного вида 310 фунтам.

Предположим , мы собираем случайную выборку черепах со следующей информацией:

• Размер выборки n = 40
• Средний вес выборки x = 300
• Выборочное стандартное отклонение s = 18,5

Мы проведем одновыборочный t-тест со следующими гипотезами:

• H ₀ : μ = 310 (в среднем по популяции равно 310 книгам)
• H _A : μ ≠ 310 (средняя численность населения не равна 310 фунтам)

Сначала посчитаем статистику теста:

t = ( x – µ) / (s/ √n ) = (300-310) / (18,5/ √40 ) = -3,4187

Далее посчитаем степени свободы:

df = n -1 = 40 – 1 = 39

Наконец, мы подключим статистику теста и степени свободы к калькулятору Т-показателя P-значения и обнаружим, что значение p равно 0,00149 .

Поскольку это значение p ниже нашего уровня значимости α = 0,05, мы отвергаем нулевую гипотезу. У нас есть достаточно доказательств, чтобы сказать, что средний вес черепах этого вида не равен 310 фунтам.

Пример 2: Степени свободы для двухвыборочного t-критерия

Предположим, мы хотим узнать, равен ли средний вес двух разных видов черепах.

Предположим, мы собираем случайную выборку черепах из каждой популяции со следующей информацией:

Образец 1:

• Размер выборки n ₁ = 40
• Средний вес выборки x ₁ = 300
• Стандартное отклонение выборки s ₁ = 18,5

Образец 2:

• Размер выборки n ₂ = 38
• Средний вес выборки х ₂ = 305
• Стандартное отклонение выборки s ₂ = 16,7

Мы проведем двухвыборочный t-критерий со следующими предположениями:

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (два средних значения совокупности равны)
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ (два средних значения совокупности не равны)

Сначала мы рассчитаем объединенное стандартное отклонение s _p :

s _p = √ (n ₁ -1)s ₁ ² + (n ₂ -1)s ₂ ² / (n ₁ +n ₂ -2) = √ ( 40-1)18,5 ² + (38-1) 16,7 ² / (40+38-2) = 17,647

Далее мы рассчитаем статистику t -теста:

t = ( x ₁ – x ₂ ) / s _p (√ 1/n ₁ + 1/n ₂ ) = (300-305) / 17,647 (√ 1/40 + 1/38 ) = -1,2508

Далее посчитаем степени свободы:

df = n ₁ + n ₂ – 2 = 40 + 38 – 2 = 76

Наконец, мы подключим статистику теста и степени свободы к калькулятору Т-показателя P-значения и обнаружим, что значение p равно 0,21484 .

Поскольку это значение p не ниже нашего уровня значимости α = 0,05, мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу. У нас нет достаточных доказательств, чтобы сказать, что средний вес черепах этих двух популяций различен.

Пример 3: Степени свободы для t-критерия парных выборок

Предположим, мы хотим знать, способна ли определенная программа тренировок увеличить максимальный вертикальный прыжок (в дюймах) баскетболистов колледжа.

Чтобы проверить это, мы можем набрать простую случайную выборку из 20 баскетболистов колледжей и измерить каждый из их максимальных вертикальных прыжков. Затем мы можем предложить каждому игроку использовать программу тренировок в течение месяца, а затем в конце месяца снова измерить его максимальный вертикальный прыжок.

Чтобы определить, действительно ли программа тренировок повлияла на максимальный вертикальный прыжок, мы проведем t-критерий парных выборок.

Сначала рассчитаем следующие сводные данные по разностям:

• x _diff : выборочное среднее разностей = -0,95
• s: выборочное стандартное отклонение разностей = 1,317.
• n: размер выборки (т. е. количество пар) = 20

Мы проведем t-тест для парных выборок со следующими предположениями:

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (два средних значения совокупности равны)
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ (два средних значения совокупности не равны)

Далее посчитаем статистику теста:

t = x _diff / (s _diff /√n) = -0,95 / (1,317/√20) = -3,226

Далее посчитаем степени свободы :

df = n – 1 = 20 – 1 = 19

Согласно калькулятору T-оценки для P-значения , значение p, связанное с t = -3,226 и степенями свободы = n-1 = 20-1 = 19, составляет 0,00445 .

Поскольку это значение p ниже нашего уровня значимости α = 0,05, мы отвергаем нулевую гипотезу. У нас есть достаточно доказательств, чтобы сказать, что средний максимальный вертикальный прыжок игроков различен до и после участия в тренировочной программе.

Дополнительные ресурсы

Следующие калькуляторы можно использовать для автоматического выполнения t-тестов на основе предоставленных вами данных:

Пример калькулятора t-теста
Калькулятор t-теста для двух выборок
Калькулятор t-теста для парных выборок