Как создать доверительный интервал, используя распределение f

Чтобы определить, равны ли дисперсии двух совокупностей, мы можем вычислить коэффициент дисперсии σ ² ₁ / σ ² ₂ , где σ ² ₁ — дисперсия совокупности 1, а σ ² ₂ — дисперсия совокупности 2.

Чтобы оценить истинный коэффициент дисперсии генеральной совокупности, мы обычно берем простую случайную выборку из каждой совокупности и вычисляем коэффициент выборочной дисперсии, s ₁ ² / s ₂ ² , где s ₁ ² и s ₂ ² — выборочные дисперсии для выборки 1 и выборки. . 2 соответственно.

Этот тест предполагает, что s ₁ ² и s ₂ ² рассчитываются на основе независимых выборок размером n ₁ и n ₂ , как из нормально распределенных популяций.

Чем дальше это соотношение от единицы, тем сильнее доказательства неравных дисперсий внутри генеральной совокупности.

(1-α)100% доверительный интервал для σ ² ₁ / σ ² ₂ определяется как:

(s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n 1 -1, n 2 -1, α/2} ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ (s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n 2 -1, n 1 -1, α/2}

где F _{n 2 -1, n 1 -1, α/2} и F _{n 1 -1, n 2 -1, α/2}   – критические значения распределения F для выбранного уровня значимости α.

Следующие примеры иллюстрируют, как создать доверительный интервал для σ ² ₁ / σ ² ₂ с помощью трех разных методов:

• За руку
• Используйте Microsoft Excel
• Использование статистического программного обеспечения R

Для каждого из следующих примеров мы будем использовать следующую информацию:

• α = 0,05
• п ₁ = 16
• _п2 = 11
• с ₁ ² =28,2
• с ₂ ² = 19,3

Создание доверительного интервала вручную

Чтобы вручную вычислить доверительный интервал для σ ² ₁ / σ ² ₂ , мы просто подставим имеющиеся у нас числа в формулу доверительного интервала:

(s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n1-1, n2-1,α/2} ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ (s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n2-1, n1-1, α/2}

Единственные числа, которые нам не хватает, — это критические значения. К счастью, мы можем найти эти критические значения в таблице распределения F :

F _{n2-1, n1-1, α/2} = F _{10, 15, 0,025} = 3,0602

F _{n1-1, n2-1, α/2} = 1/ F _{15, 10, 0,025} = 1/3,5217 = 0,2839

(Нажмите, чтобы увеличить таблицу)

Теперь мы можем подставить все числа в интервал доверительной формулы:

(s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n1-1, n2-1,α/2} ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ (s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n2-1, n1-1, α/2}

(28,2/19,3) * (0,2839) ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ (28,2 / 19,3) * (3,0602)

0,4148 ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ 4,4714

Таким образом, 95% доверительный интервал для соотношения генеральных дисперсий равен (0,4148, 4,4714) .

Создание доверительного интервала с помощью Excel

На следующем изображении показано, как рассчитать 95% доверительный интервал для коэффициента дисперсии совокупности в Excel. Нижний и верхний пределы доверительного интервала показаны в столбце E, а формула, используемая для определения нижнего и верхнего пределов, показана в столбце F:

Таким образом, 95% доверительный интервал для соотношения генеральных дисперсий равен (0,4148, 4,4714) . Это соответствует тому, что мы получили, когда вручную рассчитали доверительный интервал.

Создание доверительного интервала с помощью R

Следующий код показывает, как вычислить 95% доверительный интервал для соотношения генеральных дисперсий в R:

 #define significance level, sample sizes, and sample variances
alpha <- .05
n1 <- 16
n2 <- 11
var1 <- 28.2
var2 <- 19.3

#define F critical values
upper_crit <- 1/qf(alpha/2, n1-1, n2-1)
lower_crit <- qf(alpha/2, n2-1, n1-1)

#find confidence interval
lower_bound <- (var1/var2) * lower_crit
upper_bound <- (var1/var2) * upper_crit

#output confidence interval
paste0("(", lower_bound, ", ", upper_bound, " )")

#[1] "(0.414899337980266, 4.47137571035219 )"

Таким образом, 95% доверительный интервал для соотношения генеральных дисперсий равен (0,4148, 4,4714) . Это соответствует тому, что мы получили, когда вручную рассчитали доверительный интервал.

Дополнительные ресурсы

Как читать распределительную плату F
Как найти критическое значение F в Excel